การแก้โจทย์การเคลื่อนที่ของพาหนะ โจทย์ระดับ ป.5

โจทย์การเคลื่อนที่ของพาหนะ ซึ่งเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างสามสิ่งคือ ระยะทาง ความเร็ว และ เวลา (ซึ่งจะใช้มากในการเรียนฟิสิกส์) สูตรที่สำคัญที่ต้องทราบก็คือ ระยะทาง เท่ากับ ความเร็ว คูณด้วย เวลา)

ป5

โจทย์ลองทำ

มีรถไฟ A ซึ่งมีความยาว 150 เมตรวิ่งด้วยความเร็ว 15 เมตรต่อวินาที และ รถไฟ B วิ่งยาว 200 เมตรและวิ่งด้วยความเร็ว 20 เมตรต่อวินาที หากรถไฟทั้งสองวิ่งในทิศทางตรงกันข้ามกัน จงหาว่ารถไฟทั้งสองต้องใช้เวลากี่วินาทีถึงจะวิ่งแยกออกจากกัน (นับเวลาตั้งแต่หัวรถไฟบรรจบกันจนถึงเวลาที่แยกห่างจากกัน)

(ตอบ 10 วินาที)

Advertisements

มีปลาคาร์ปกี่ตัว

มีชายผู้หนึ่งได้ซื้อสัตว์น้ำต่างๆมาในราคา 3,600 บาท ประกอบด้วยหอยสีทองราคาตัวละ 130 บาท หอยสีขาวตัวละ 104 บาท กุ้งตัวละ 78 บาท และปลาคาร์ปตัวละ 170 บาท อยากรู้ว่าซื้อปลาคาร์ปมากี่ตัว?
TR-033
สิ่งที่ยากสำหรับโจทย์นี้คือไม่รู้ว่าจำนวนรวมของสัตว์ทั้งหมดมีกี่ตัว จะเดาสุ่มและค่อยๆเพิ่มหรือลดสัตว์ที่ละชนิดก็ค่อนข้างใช้เวลามาก ดังนั้น การแก้โจทย์ข้อนี้จึงต้องหาความต่างระหว่างปลาคาร์ปและสัตว์น้ำอื่นๆ

หากเราดูราคาของสัตว์ทุกชนิดจะเห็นได้ว่านอกจากปลาคาร์ปแล้วสัตว์น้ำอื่นๆจะสามารถหารด้วย 13 ได้ลงตัว ซึ่งหมายความว่าหากไม่นับปลาคาร์ปแล้วละก็ไม่ว่าจะซื้อสัตว์น้ำชนิดอื่นมากขนาดไหนก็จะสามารถหารด้วย 13 ได้ลงตัว

ปลาคาร์ปราคาตัวละราคา 170 บาทเมื่อนำมาหารด้วย 13 จะได้เท่ากับ 13 เศษ 1 ดังนั้นนำเอาราคาทั้งหมดคือ 3,600บาท มาหารกับ 13จะได้เท่ากับ 276 เศษ 12 จึงมีปลาคาร์ปทั้งหมด 12 ตัว

จงหาผลรวมของ 1+3+5+7+…..+95 = ?

จงหาผลรวมของ 1+3+5+7+…..+95 = ?

คำถามบางคำถามง่ายในการทำความเข้าใจว่าต้องการหาอะไรแต่ไม่ง่ายในการแก้ปัญหา เช่นคำถามด้านบน แม้แต่เด็กประถมยังเข้าใจว่าโจทย์ต้องการอะไร แต่ ผู้ใหญ่หลายคนอาจยังไม่สามารถแก้ปัญหาข้อนี้ได้ หลายคนเมื่อเจอคำถามข้อนี้สิ่งแรกที่คิดคือถึงคือเครื่องคิดเลข
การแก้โจทย์นี้ทำได้หลากหลายวิธีการ แม้สุดท้ายจะได้คำตอบเหมือนกันแต่ความยุ่งยากต่างกันและหากมีหลายขั้นตอนอาจทำให้คำนวณผิดได้
ตัวอย่างการแก้โจทย์ ( ไม่รวมการบวกที่ละตัว เพราะค่อนข้างเสียเวลาและเกิดความผิดพลาดได้ง่าย)

TR-033

วิธีที่ 1
นำเอา 1+3+5+7+9 = 25 ; จากนั้นหากสังเกตจะเห็นว่า การรวมของ 11+13+15+17+19 = 10+10+10+10+10+1+3+5+7+9 = 50 + 25 ส่วนของ 21 ถึง 29 ก็เช่นกันจะเท่ากับ 100 + 25 จากนั้นนำผมรวมมารวมกันเป็น 25 + 75 + 125 + 175 + 225 + 275 + 325 + 375 + 425 + 91 + 93 + 95 = 2304
แม้จะทำให้ง่ายขึ้นในการลดขั้นตอนการบวกแต่ก็ยังมีการบวกเลขที่เยอะและยังเกิดความผิดพลาดได้ง่าย

วิธีที่ 2
นำการจัดกลุ่มเพื่อให้ตัวเลขเท่ากันและใช้หลักการคูณเข้ามาช่วย เมื่อนำเอาตัวเลขตัวแรกและตัวสุดท้ายมารวมกันคือ 1+95 จะได้ 96 และหากนำตัวเลขตัวที่สองมารวมกับตัวรองสุดท้ายคือ 3+93 =96 เมื่อทำต่อไปเรื่อยๆจะได้ 5+ 91= 96 จะเห็นได้ว่าคือการนำเอา 96 มารวมกัน จากนั้นก็ต้องหาว่ามีการรวมกันกี่ชุด (หลายคนอาจสับสนตรงนี้ 1-95 ประกอบด้วยเลขคี่จำนวน 95+1 หาร 2= 48 ตัวเมื่อนำมาจับคู่จะได้ ทั้งหมด 48/2 = 24ชุด) ดังนั้นการแก้โจทย์นี้คือเอา 96 x 24 = 2304
แม้วิธีนี้จะง่ายแต่อาจไม่เหมาะกับเด็กประถมต้นเพราะการคูณเลข 2 จำนวนเป็นเรื่องที่ค่อนข้างยาก

วิธีที่ 3
นำเอาวิธีที่ 2 มาประยุกต์เพิ่มเติมเพื่อให้จัดกลุ่มและคูณได้ง่าย หากสังเกตุดูจะเห็นได้ว่าถ้าโจทย์กำหนดให้บวกถึง 99 จะง่ายกว่าทั้งการรวมเลขและจัดกลุ่มดังนั้นเราจะใช้วิธีเพิ่มและลด เพื่อให้ง่ายต่อการคำนวณ โดยการปรับโจทย์ให้เป็น 1+3+5+7+9+…..+95 +97+99 -97-99
จากนั้นนำวิธีที่ 2 มาใช้จะได้เท่ากับ (1+99) + (3+97) + …….+(49+51) -97-99 = (100×25) -200 + 4 = 2500-200+4 = 2304
ซึ่งเป็นวิธีที่ง่ายการรวมเลขไม่ซับซ้อน และ ยังสามารถตรวจสอบได้ง่ายว่าคำนวณผิดหรือไม่ (วิธีทำดังรูปด้านล่าง)

answer

วิธีที่ 4
แน่นอนว่าคำถามนี้คงเป็นคำถามที่มีมาตั้งแต่สมัยอดีต และแน่นอนว่าต้องมีนักคณิตศาสตร์ที่คิดค้นวิธีการแก้ปัญหานี้โดยการสร้างสูตรสำเร็จ และสูตรนั้นคือ
1+3+5+7+…+(2n-1) = n x n ; ให้ n เป็นจำนวนธรรมชาติ
เมื่อเทียบกับโจทย์ด้านบน 2n – 1 = 95 ดังนั้น n = 48 เมื่อนำเอา 48x 48 = 2304

จะเห็นได้ว่าคำถามเดียวสามารถหาคำตอบได้หลากหลายวิธี การแก้ปัญหาคณิตสาสตร์จะง่ายหรือยากบางครั้งอาจขึ้นอยู่กับวิธีการในการหาคำตอบของเรา

ออยเลอร์กับปัญหาสร้างรั้วล้อมแกะ

คณิตศาสตร์ไม่ได้เป็นเพียงแค่บทเรียนในตำราเท่านั้น แต่คณิตศาสตร์อยู่รอบตัวเราเสมอ เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่เคยใช้ความรู้ทางคณิตศาสตร์แก้ปัญหาที่ยุ่งยากให้คุณพ่อของเขามาแล้ว

ออยเลอร์เป็นนักคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ชาวสวิสเซอร์แลนด์ เขาและคาร์ล ฟริดริช เกาส์ได้รับการยกย่องให้เป็นสองนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในประวัติศาสตร์ เขาเป็นผู้เริ่มใช้คำว่า “ฟังก์ชัน” ในความสัมพันธ์ที่เกี่ยวกับตัวแปร และยังเป็นผู้ริเริ่มใช้ “แคลคูลัส” ในฟิสิกส์อีกด้วย

คุณพ่อของเขามีอาชีพเลี้ยงแกะ อยู่มาวันหนึ่งแกะมีจำนวนเพิ่มเป็น 100 ตัว ทำให้แกะมีจำนวนมากกว่าที่จะจุได้ จึงจำเป็นต้องเพิ่มรั้วพื้นที่ให้ใหญ่กว่าเดิม คุณพ่อได้เตรียมพื้นที่สี่เหลี่ยมยาว 40 เมตร และกว้าง 15 เมตร กินพื้นที่ 600 ตารางเมตร เพื่อสร้างรั้วล้อมแกะ เพราะแกะแต่ละตัวต้องการพื้นที่ 6 ตารางเมตร

P5339599-25

แต่แล้วก็มีปัญหาตามมา พื้นที่ 600 ตารางเมตร ต้องใช้ความยาวรั้ว 15+15+40+40 = 110 เมตร แต่คุณพ่อเตรียมรั้วเพียง 100 เมตรจึ่งต้องเพิ่มวัสดุ แต่หากลดความยาวรั้วลงพื้นที่ก็จะลดลงตามไปด้วย

เมื่อออยเลอร์ทราบถึงปัญหาจึงได้เสนอวิธีช่วยล้อมรั้วให้คุณพ่อ โดยการลดขนาดความยาวจาก 40   เมตรให้เหลือเพียง 25 เมตร และเพิ่มความกว้างเป็น 25 เมตรเช่นกัน ดังนั้นจากพื้นที่สี้เหลื่ยมขนาด  40×15 ก็เปลื่ยนเป็นสี่เหลื่ยมจัตุรัสขนาดด้านละ 25 เมตร

เมื่อลองมาคำนวณความยาวรั้วจะได้เท่ากับ 25+25+25+25 = 100 เมตร ซึ่งจะพอดีกับวัสดุที่เตรียมมา นอกจากนี้พื้นที่ยังเท่ากับ 25×25 = 625 ตารางเมตรซึ่งมีพื้นที่เพิ่มขึ้นอีกด้วย

( สำหรับสี่เหลื่ยมใดๆที่มีเส้นรอบรูปยาวเท่ากัน สี่เหลื่ยมจัตุรัสจะมีพื้นที่มากมี่สุด)

The Elements ของยุคลิด กับปัญหาวาดวงกลมให้เป็นสี่เหลื่ยมจัตุรัส

ยุคลิดเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกที่มีชีวิตอยู่ประมาณ พ.ศ. 218 แม้ว่าเรื่องราวเกี่ยวกับยุคลิดยังคงสับสนแต่ผลงานเรื่อง The Elements ยังนำมาใช้อยู่จนทุกวันนี้

The Elements แบ่งออกเป็นหนังสือ 13 เล่ม สำหรับ 6 เล่มแรกเป็นผลงานเกี่ยวกับเลขาคณิต เล่ม7ถึง 9 เป็นทฤษฎีเกี่ยวกับตัวเลข เล่ม10 เป็นทฤษฎีเกี่ยวกับจำนวนอตรรกยะ และ 3 เล่มสุดท้ายเกี่ยวกับรูปเรขาคณิตทรงตัน และรูปทรงหลายเหลื่ยม

E

โดยเฉพาะเรื่องรูปทรงเรขาคณิต ซึ่งเป็นรากฐานสำคัญของเลขาคณิตในปัจจุบัน จากเนื้อหาในหนังสือทำให้เกิดปัญหาที่แก้ไม่ได้คือ สามารถวาดวงกลมให้เป็นรูปสี่เหลื่ยมจัตุรัสได้หรือไม่ จนกระทั่งปลายศตวรรษที่19 รีมันน์ได้พิสูจน์แล้วว่า ค่าพาย เป็นจำนวนอดิศัย (ไม่เป็นรากของสมการพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ) จึงเป็นการยืนยันว่าปัญหานี้ไม่สามารถทำได้

จำนวนของที่ซื้อ?

Question
นาย เอ และ บี ไปซื้อแอปเปิลและส้ม
โดยนาย เอ ซื้อแอปเปิลลูกละ 50 บาท และซื้อส้มลูกละ 15 บาท รวมทั้งหมดเป็นเงิน 1395 บาท
ส่วนนาย บี ซื้อแอปเปิลลูกละ 45 บาทและส้มลูกละ 20 บาท รวมทั้งหมดเป็นเงิน 1670 บาท
เมื่อกลับมาเปรียบเทียบดู ปรากฎว่าเมื่อรวมจำนวนผลของลูกแอปเปิลและส้มที่นาย เอ และ บี ซื้อมาจะได้จำนวนเท่ากัน
ถามว่า เอ ซื้อแอปเปิลมากี่ลูก?

TR-002

Answer

การแก้คำถามข้อนี้ไม่มีสูตรลัดในการหา เราต้องสร้างความน่าจะเป็นในการซื้อทั้งหมดของนาย เอ และ บี ออกมา

  • สำหรับ เอ จำนวนส้มที่สามารถซื้อได้จะเท่ากับ 1395 / 15 = 93 ลูก และ ครน ระหว่าง 50 กับ 15 คือ 150 เราจะรู้ว่าราคาแอปเปิล 3 ลูกเท่ากับส้ม 10ผล จากนั้นก็สร้างตาราง ระหว่างจำนวนแอปเปิล ส้ม และผลรวม
  • จากนั้นก็ทำแบบเดียวกันกับ บี เมื่อตารางเสร็จก็นำผลรวมมาเปรียบเทียบเพราะโจทย์บอกว่าผลรวมของผลไม้ทั้งสองคนเท่ากัน
  • จะได้คำตอบคือ เอ ซื้อแอปเปิล 18 ลูก ส้ม 33 ลูก ส่วน บี ซื้อแอปเปิล 26 ลูก และส้ม 25 ลูก

 

ต้องตักปลาหางนกยูงออกกี่ตัว?

Question
อ่างปลาใบหนึ่งมีปลาอยู่ทั้งหมด 200 ตัว ในจำนวนนี้เป็นปลาหางนกยูง 99 เปอร์เซ็นต์ อยากรู้ว่าต้องตักปลาหางนกยูงออกกี่ตัวเพื่อให้ในอ่างเหลือปลาหางนกยูงอยู่ 98 เปอร์เซ็นต์?

guppy3

Answer

คำถามข้อนี้ดูเหมือนง่าย คนส่วนใหญ่มักคิดว่าต้องตักออก 2 ตัว ก็จะทำให้ปลาหางนกยูงลดลงไป 1 เปอร์เซ็นต์ แต่นั้นไม่ใช่คำตอบที่ถูก เพราะเมื่อตักปลาหางนกยูงออก 2 ตัว จะทำให้เหลือปลาหางนกยูงจำนวน 196 ตัว จากจำนวนปลาทั้งหมด 198 ตัวซึ่งไม่ใช่ 98% เราต้องทำความเข้าใจว่าปลาอื่นๆคิดเป็น 1 % นั้นก็คือ 2 ตัว ดังนั้นแล้วเพื่อที่จะให้ได้ 98% เราจึงต้องทำให้ 2 ตัวของปลาอื่นคิดเป็น 2 % เราจึงต้องมีปลาทั้งหมด 100 ตัว ดังนั้นเราจึงต้องเอาปลาออก 100 ตัว