4 ขั้นตอนการแก้โจทย์ปัญหาของ Polya

George Ploya, นักคณิตศาสตร์ชาวฮังการี ได้เขียนถึงวิธีการในการแก้โจทย์ปัญหาทางคณิตศาสตร์ไว้ 4 ขั้นตอน
ขั้นที่ 1 เข้าใจโจทย์ปัญหา ( Understand the problem)
  • อ่านโจทย์ให้ละเอียด ( Read the problem carefully)
  • เขียนข้อมูลทุกอย่างที่โจทย์ให้มา ( Write down the information given in the problem)
  • เขียนว่าโจทย์ต้องการให้หาอะไร ( Write what is being asked to solve or find)
ขั้นที่ 2 สร้างแผนหรือวิธีการในการแก้ปัญหา ( Devise a Plan)
  • เลือกวิธีการให้เหมาะสมในการแก้ปัญหา ( Find a strategy to solve the problem)
    • มองหาความสัมพันธ์ ( Look for a pattern)
    • คิดแบบย้อนกลับ ( Work backwards)
    • ใช้การวาดรูป หรือ แผนผัง ( Draw a diagram or use a model)
    • สร้างตาราง หรือ แทนค่าในสูตร์ ( Make a table or use a formula)
    • แทนค่าตัวเลขและทำการทดสอบ ( Guess and Check)
ขั้นที่ 3 ลงมือทำตามแผนหรือวิธีการที่วางไว้ ( Carry Out the Plan)
  • ลงมือแก้โจทย์ตามวิธีการที่เลือกไว้ ( Try to solve the problem using the strategy chosen)
    • มีข้อมูลเพียงพอหรือไม่ในการแก้โจทย์ปัญหา (Is all the given information used to solve the problem?)
    • สามารถหารูปแบบหรือความสัมพันธ์ได้หรือไม่ (Is there a pattern that can be identified?)
ขั้นที่ 4 ตรวจคำตอบ (Look Back)
  • ตรวจสอบว่ามีความผิดพลาดในวิธีการแก้โจทย์และการคำนวณหรือไม่ (Check for any mistake or error in the process of solving the problem)
  • ตรวจสอบว่าคำตอบถูกต้องหรือไม่ (Check to see if the solution is correct)
  • ค้นหาวิธีการอื่นๆที่ดีกว่าวิธีที่ใช้อยู่ (Think about whether there is a better strategy to solve the problem)

    C2735E77-020D-40D7-A3E4-B7D5C35FDB01

 

พาลินโดรม

ไม่ว่าจะอ่านจากข้างหลังหรือข้างหน้าก็จะได้คำหรือวลีที่อ่านออกเสียงเหมือนเดิม เช่นปี 2002 เกาหลีเป็นเจ้าภาพในการจัดแข่งขันฟุตบอลโลก บางครั้งก็ฝันถึงตัวเลขหรือปีที่มีตัวเลขเป็นพิเศษเช่น 2112 นักคณิตศาสตร์สร้างตัวเลขไว้ในประโยคสนุกๆเหล่านี้ด้วยวิธีการต่างๆ
47 + 74 = 121 
จากที่ 47 สลับตัวเลขจะได้ 74 เมื่อนำมาบวกกันจะได้ 121 แล้ว 121 ไม่ว่าจะอ่านออกเสียงจากด้านหน้าหรือด้านหลังก็จะอ่านออกเสียงเหมือนกัน เราเรียกจำนวนแบบนี้ว่า พาลินโดรม 
เลขพาลินโดรมสามารถสร้างจากการคูณได้เช่นกัน
12 x 21 = 252 
ยังมีกรณีการสร้างเลขพาลินโดรมด้วยการคูณจำนวนสองจำนวนที่ต่อเนื่องกันเช่น  77 x 78 = 6006

1427778030-math_symbol_clipart

มีเรื่องเล่าของนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียชื่อ ศรีนิวาสะ รามานุจันว่าเมื่อเขาไม่สบายและเพื่อนครหนึ่งขับรถทะเบียน 1729 มาเยื่ยม
“หมายเลขทะเบียนรถของนายเท่จัง”
รามานุจันพูด เพื่อของเขาส่ายหน้าแล้วตอบว่า
“พูดอะไรอย่างนั้น 1729 เป็นตัวเลขที่ไม่ได้พิเศษอะไรเลย”
รานมานุจันหัวเราะและพูดว่า
“นายไม่รู้เหรอว่า 1729 มันเท่มากแค่ไหน 1729 เป็นผลรวมของจำนวนที่ยกกำลังสามของ 9 กับ 10 นะ”
9 x 9 x 9 = 729
10 x 10 x 10 = 1000
729 + 1000 = 1729
“จริงๆด้วย นายรู้ได้ไงเนี่ย”

 

อคิลลิสจะไล่เต่าทันหรือไม่?

เมื่อราว 500 ปีก่อนคริสตการ ซีโน นักปรัชญาชาวกรีกได้กล่าวไว้ว่า
” อคิลลิสจะไม่มีวันไล่ตามเต่าที่นำหน้าอยู่ได้ เพราะเมื่ออคิลลิสไปถึงตำแหน่งที่เต่าเคยอยู่ ระหว่างนั้นเต่าก็เคลื่อนที่ไปข้างหน้าแล้ว และเมื่ออคิลลิสพยายามไปยังตำแหน่งที่เต่าอยู่ เต่าก็จะเคลื่อนไปข้างหน้าอีก เป็นเช่นนี้ซ้ำแล้วซ้ำเล่า อคิลลิสจึงไม่สามารถตามเต่าได้ตลอดกาล”
เรื่องเล่านี้เรียกว่า “พาราด็อกซ์ของซิโน” ที่ว่ากันว่าสร้างความปวดหัวให้คนในยุคนั้นที่ไม่อาจหาเหตุผลมาโต้แย้งได้

turtle

หากลองพิจรณากรณีที่อคิลลิสเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเป็น 2 เท่าของเต่าแล้วนำมาคำกล่าวของซีโนมาเทียบเชิงเวลาดู ก่อนอื่นให้เวลาที่อคิลลิสเคลื่อนไปยังตำแหน่งของเต่าเคยอยู่เท่ากับ 1 ระหว่างที่เต่าเคลื่อนไปข้างหน้าด้วยความเร็วเป็น 1/2 ของอคิลลิส นั่นคือในช่วงเวลาถัดไปอคิลลิสจะใช้เวลา 1/2 เพื่อไปยังจุดที่เต่าเคยอยู่ ในทำนองเดียวกันพอช่วงเวลาถัดไปจะใช้ 1/4 และลดน้อยลงที่ละครึ่ง สามารถเขียนเป็นสูตรได้ดังนี้
เวลาที่ใช้ = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +……..
จะเห็นได้ว่า สูตรนี้ยาวต่อเนื่องไปไม่สิ้นสุด ทำให้เข้าใจว่าเวลาที่ใช้ต้องเพิ่มขึ้นไปจนถึงอนันต์ อย่างไรก็ตาม ความเข้าใจเช่นนี้ไม่ถูกต้อง เพราะเมื่อคำนวนสูตรนี้ออกมาค่าที่ได้จะมีค่าเท่ากับ 2 นั้นคือ ถ้าให้เวลาที่ไปถึงต่ำแหน่งที่เต่าเคยอยู่ตอนแรกเป็น 1 นาที อคิลลิสก็จะตามเต่าทันได้ในเวลาเพียง 2 นาที
ในสมัยโบราณยังไม่มีแนวคิดเรื่องค่าอนันต์และฟังค์ชั่นเลย จึงไม่น่าแปลกใจที่ปัญหานี้เป็นปัญหาที่ยุ่งยากปัญหาหนึ่งในสมัยนั้น

ฟีโบนัชชี กับจำนวนคู่ของกระต่าย

เลโอนาร์โด ฟิโบนัชชี เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี ผลงานชิ้นสำคัญที่สุดของเขาคือการค้นพบ “จำนวนฟีโบนัชชี” ซึ่งเป็นลำดับตัวเลขที่เป็นที่ชื่นชมของคนทั้งโลก

คำถามข้อนี้มีอยู่ว่า “ถ้ากระต่ายหนึ่งคู่ออกลูกได้เดือนละคู่ และลูกกระต่ายสามารถแพร่พันธ์ต่อได้ในเดือนที่สองหลังเกิด ผ่านไปหนึ่งปีจะมีกระต่ายกี่คู่”
จากโจทย์สามารถคำนวณได้ว่า
เดือนที่ 1 จะมีกระต่ายหนึ่งคู่ คือ คู่แรกคู่เดียว
เมื่อเข้าเดือนที่ 2 กระต่าย 1 คู่จะเพิ่มเป็น 2 คู่
เดือนที่ 3  กระต่าย 2 คู่จะเพิ่มเป็น 3 คู่
เดือนที่ 4  กระต่าย 3 คู่จะเพิ่มเป็น 5 คู่
เดือนที่ 5 กระต่าย 5 คู่จะเพิ่มเป็น 8 คู่
เดือนที่ 6 กระต่าย 8 คู่จะเพิ่มเป็น 13 คู่

phibo02

จำนวนคู่ของกระต่ายแต่ละเดือนคือ 1,2,3,5,8,13 ซึ่งเห็นได้ว่านอกจากเลขสองลำดับแรกแล้ว เลขลำดับถัดมาต่างเป็นผลบวกของเลขสองลำดับก่อนหน้านั้นทั้งสิ้น จากลำดับดังกล่าวเราสามารถเรียงลำดับจำนวนคู่ของกระต่ายในแต่ละเดือนเป็น 1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233 ดังนั้นในหนึ่งปีจะมีกระต่าย 233 คู่ ดังนั้นผู้คนจึงตั้งชื่อลำดับตัวเลขดังกล่าวว่า “จำนวนฟีโบนัชชี” เพื่อรำลึกถึงเขา

จำนวนฟีโบนัชชี หมายถึง จำนวนต่างๆที่อยู่ในลำดับดังนี้ 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,… โดยลำดับสองจำนวนแรกเป็น 0 และ 1 ส่วนจำนวนถัดไปจะมีค่าเป็นผลบวกของจำนวนก่อนหน้า
เรามักพบ จำนวนฟีโบนัชชี แฝงอยู่ในธรรมชาติมากมายเช่น ความโค้งของตาสัปปะรด ตาลูกสน เกสรดอกทานตะวัน อัตราส่วนทองคำ และ เส้นโค้งก้นหอยแบบลอการิทึม

คำถามที่นักคิดเลขในใจต้องอึ้ง

ทุกคนรู้จักการคิดเลขในใจ การคิดเลขในใจเป็นการคำนวณที่ใช้การนึกคิด โดยไม่ต้องพึ่งอุปกรณ์ช่วยเหลือใดๆสามารถฝึกการคิดในใจโดยใช้เทคนิคในการคำนวณต่างๆ

ตัวอย่างเช่น เอาจำนวนใดๆที่มี 2 หลักมาคูณ 11 ผลลัพธ์ที่จะได้เป็นดังนี้
– หลักร้อยจะเท่ากับจำนวนเลขหลักสิบของจำนวนนั้น
-หลักสิบจะเท่ากับ ผลบวกของเลขสองตัวนั้น
-หลักหน่วยจะเท่ากับ เลขหลักหน่วยของจำนวนนั้น

เช่น 35×11 = 385
– เลขหลักสิบของ35 คือ 3
– ผลบวกของเลขสองตัวคือ 3+5 = 8
– เลขหลักหน่วยคือ 5
ดังนั้นผลลัพธ์จึงเป็น 385 จะเห็นได้ว่าการคิดในใจจำเป็นต้องใช้เทคนิคบางอย่างในการคำนวณด้วยเพื่อความรวดเร็วในการหาคำตอบ

1427778030-math_symbol_clipart

บนโลกใบนี้มีปรมาจารย์การคิดเลขในใจมากมาย หนึ่งในนั้นคือแอบบอตต์ คามิโอ ความเร็วในการคิดของเขาทำเอาหลายคนตกตะลึง จึงได้รับความชื่นชมเป็นอย่างมาก แต่ด้วยนิสัยที่เป็นคนถือตัวจึงทำให้เกิดเหตุการณ์น่าขบขันนี้ขึ้น

วันหนึ่งตอนที่คามิโอกำลังแสดงความสามารถ เขาได้เชิญคนหนึ่งให้ขึ้นมาถามคำถามบนเวที เขาบอกให้ผู้ชมตั้งโจทย์ยากๆ ผู้ชมคนนั้นคิดอยู่ครู่หนึ่งก่อนถามว่า ” รถไฟฟ้าบรรจุผู้โดยสารได้ 983,747คน สถานีแรกมีคนลง2,583 คน มีคนขึ้น1,987 คน เมื่อถึงอีกสถานีก็มีคนลง 1,265 คน มีคนขึ้น 9,873 คน เมื่อถึงอีกสถานีมีคนลง ….. “ สีหน้าและแววตาของคามิโอยังเต็มไปด้วยความเย่อหยิ่ง ผู้ชมบนเวทียังพูดต่อ ” มีคนลง 998 คนมีคนขึ้น ….”

คามิโอถามเบาๆว่า ” จบหรือยัง”
” ยังไม่จบ” ผู้ชมคนนั้นพูดต่อ ” มีคนลงอีก 1,289 คน มีคนขึ้นอีก 3,674 คน สุดท้ายรถไฟก็หยุดที่สถานีปลายทาง”

” คุณอยากฟังคำตอบทันทีเลยไหม” คามิโอถามอย่างสงบเยือกเย็น

“ผมอยากได้คำตอบตอนนี้เลยแต่ผมไม่ได้อยากรู้ว่าสุดท้ายแล้วมีเหลือผู้โดยสารกี่คน ผมอยากรู้ว่ารถไฟขบวนนี้จอดรับผู้โดยสารกี่สถานี”

พอรู้ว่าผู้ชมท่านนี้ต้องการอะไร คามิโอก็เสียหน้าอย่างแรง เขากล่าวอย่างกระดากอายว่า ” ขอโทษครับ ผมไม่รู้”

ผู้ชมปรมมือดังกึกก้อง แต่ไม่ใช่ให้กับคามิโอ ทว่ามอบให้กับผู้ชมแสนฉลาดและมีไหวพริบคนนั้น

เรื่องนี้สอนให้รู้ว่า การแก้ปัญหาควรที่จะเข้าใจถึงปัญหาอย่างท่องแท้แม้ว่าจะคิดเลขในใจเร็วแค่ไหนแต่ถ้าไม่เข้าใจว่าสิ่งที่ต้องการคืออะไรก็อาจจะไม่สามารถตอบปัญหานั้นได้

ออยเลอร์กับปัญหาสร้างรั้วล้อมแกะ

คณิตศาสตร์ไม่ได้เป็นเพียงแค่บทเรียนในตำราเท่านั้น แต่คณิตศาสตร์อยู่รอบตัวเราเสมอ เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่เคยใช้ความรู้ทางคณิตศาสตร์แก้ปัญหาที่ยุ่งยากให้คุณพ่อของเขามาแล้ว

ออยเลอร์เป็นนักคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ชาวสวิสเซอร์แลนด์ เขาและคาร์ล ฟริดริช เกาส์ได้รับการยกย่องให้เป็นสองนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในประวัติศาสตร์ เขาเป็นผู้เริ่มใช้คำว่า “ฟังก์ชัน” ในความสัมพันธ์ที่เกี่ยวกับตัวแปร และยังเป็นผู้ริเริ่มใช้ “แคลคูลัส” ในฟิสิกส์อีกด้วย

คุณพ่อของเขามีอาชีพเลี้ยงแกะ อยู่มาวันหนึ่งแกะมีจำนวนเพิ่มเป็น 100 ตัว ทำให้แกะมีจำนวนมากกว่าที่จะจุได้ จึงจำเป็นต้องเพิ่มรั้วพื้นที่ให้ใหญ่กว่าเดิม คุณพ่อได้เตรียมพื้นที่สี่เหลี่ยมยาว 40 เมตร และกว้าง 15 เมตร กินพื้นที่ 600 ตารางเมตร เพื่อสร้างรั้วล้อมแกะ เพราะแกะแต่ละตัวต้องการพื้นที่ 6 ตารางเมตร

P5339599-25

แต่แล้วก็มีปัญหาตามมา พื้นที่ 600 ตารางเมตร ต้องใช้ความยาวรั้ว 15+15+40+40 = 110 เมตร แต่คุณพ่อเตรียมรั้วเพียง 100 เมตรจึ่งต้องเพิ่มวัสดุ แต่หากลดความยาวรั้วลงพื้นที่ก็จะลดลงตามไปด้วย

เมื่อออยเลอร์ทราบถึงปัญหาจึงได้เสนอวิธีช่วยล้อมรั้วให้คุณพ่อ โดยการลดขนาดความยาวจาก 40   เมตรให้เหลือเพียง 25 เมตร และเพิ่มความกว้างเป็น 25 เมตรเช่นกัน ดังนั้นจากพื้นที่สี้เหลื่ยมขนาด  40×15 ก็เปลื่ยนเป็นสี่เหลื่ยมจัตุรัสขนาดด้านละ 25 เมตร

เมื่อลองมาคำนวณความยาวรั้วจะได้เท่ากับ 25+25+25+25 = 100 เมตร ซึ่งจะพอดีกับวัสดุที่เตรียมมา นอกจากนี้พื้นที่ยังเท่ากับ 25×25 = 625 ตารางเมตรซึ่งมีพื้นที่เพิ่มขึ้นอีกด้วย

( สำหรับสี่เหลื่ยมใดๆที่มีเส้นรอบรูปยาวเท่ากัน สี่เหลื่ยมจัตุรัสจะมีพื้นที่มากมี่สุด)

จัตุรัสกล

จัตุรัสกลคือ ตารางขนาด n x n ที่เมื่อใส่ตัวเลขที่ไม่ซ้ำกันในแต่ละช่องจนครบแล้ว จะทำให้ผลบวกของตัวเลขในแนวตั้ง แนวนอน และ แนวทแยงมุมมีค่าเท่ากันหมด ถ้า n = 3 จะได้จัตุรัสขนาด 3 x 3
เราจะลองสร้างจัตุรัสกลขนาด 3 x 3 จำนวนช่องจเท่ากับ 9 ตัวเลขที่นำมาใส่ในช่องจะเป็น 1 – 9 ผลบวกของตัวเลขทั้งหมดเป็น 45 ดังนั้นผลบวกในแนวตั้ง นอน และทแยง จึงเท่ากับ 15 ในการแก้แบบ 3 x 3 นั้นจะต้องใส่เลข 5 เข้าไปยังจุดกลาง จากนั้นนำเอาจำนวนเลขคู่มาใส่ยังที่มุมทั้งสี่ และใส่เลขคี่เพื่อให้ผลรวมเป็น 15 สำหรับจัตุรัสกลแบบ 3×3 นั้นมีรูปแบบเพียงอย่างเดียว
ขณะที่จัตุรัสกลแบบ 3×3 มีเพียงแบบเดียว แต่จัตุรัสกลแบบ 4×4 นั้นมีได้ถึง 830 แบบ และ ขนาด 5×5 นั้นมีได้มากกว่า 2,200 ล้านแบบ แต่ถึงแม้ไม่รู้ว่าจะมีกี่แบบ แต่ก็สามารถสร้างขึ้นมาแบบหนึ่งได้โดยง่าย อย่างเช่น กรณีที่ n เป็นเลขคี่ ให้เขียนเลข 1 ไว้ในตรงกลางของแถวบนสุด จากนั้นสสำหรับเลขตัวถัดไปเรื่อยๆให้เขียนไว้ในช่องบนขวา ถ้าไม่มีช่องบนขวาให้กลับไปทางด้านล่างหรือด้านซ้าย
 m01
จัตุรัสกลนั้นมีตัวอย่างที่เมีลักษณะเฉพาะอยู่มากมาย เช่น ขนาด 4×4 ของคือเรอร์ นอกจากมีผลรวมในแต่ะแนวเท่ากันแล้ว สี่ช่องตรงกลาง และสี่ช่องที่ได้จากการแบ่งสี่ส่วนก็มีผลบวกเท่ากันด้วย และทั้งหมดนี้มีผลรวมเท่ากับ 34