เทคนิคการบวก 1+2+4+8+16+…+512?

จงหาค่าของ 1+2+4+8+16+…+512?

 

TR-033
ตอบ
สิ่งแรกที่ต้องสังเกตคือความสัมพันธของตัวเลขที่เกิดขึ้น ความสัมพันธของเลขด้านบนคือผลรวมของเลขยกกำลังของเลขฐาน 2 ( 2 ยกกำลัง 0 = 1 , 2 ยกกำลัง 1 = 2,2 ยกกำลัง 2 = 4,2 ยกกำลัง 9 = 512)
ดังนั้นเราจึงต้องการผลรวมของ 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 128 + 256 + 512 แน่นอนว่าเราสามารถบวกเลขได้โดยตรง หรือใช้เครื่องคิดเลขในการคำนวณ แต่หากไปเลขที่มากขึ้นอย่าง 2 ยกกำลัง 15 = 32,768 วึ่งต้องใช้เวลานานในการคำนวณ แล้วเราจะสามารถแก้โจทย์ข้อนี้ได้อย่างรวดเร็วได้อย่างไร
หากเราสังเกตุการเพิ่มขึ้นของตัวเลข 1 + 2 = 3 ; 1 + 2 + 4 = 7; 1 + 2 + 4 +8 = 15 จะสังเกตได้ว่าผลรวมที่ได้รับนั้นมีค่าน้อยกว่าตัวเลขถัดไปอยู่ 1 เสมอ เช่น 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 15 + 16 = 31 (ซึ่ง 31 ก็น้อยกว่า 32 ซึ่งเป็นตัวเลขถัดไปอยู่ 1
(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 128 + 256 + 512) = (511 + 512) = 1023   
[ ถ้าบวกจนถึง 2 ยกกำลัง 15 (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 128 + … + 32,768) = 32,767 + 32,768 = 65,535 ]
แล้วถ้าเป็นเลขยกกำลังของ 3 ละ เช่น 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = ??? จะมีวิธีไหนในการแก้โจทย์นี้?

 

 

 

 

Advertisements

เกาส์ผู้แก้โจทย์ปัญหาอันซับซ้อน

ในเยอรมันมีเด็กชายคนหนึ่งชื่อ คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ เขามีพรสวรรค์ทางด้านคณิตศาสตร์มาตั้งแต่เด็ก เมื่ออายุ 3 ปี เกาส์เห็นความผิดพลาดในบัญชีของพ่อและสามารถแก้ไขได้ในเวลาอันรวดเร็ว และเมื่ออายุ 10 ปีเขาก็ทำให้ครูคณิตศาสตร์ต้องตกตะลึง

วันนั้นครูของเกาส์อารมณ์ไม่ดี ไม่อยากสอนหนังสือจึงให้เด็กทำเลขข้อหนึ่งคือให้หาค่าของ 1+2+3+4+5+…..+100

เนื่องจากเด็กๆยังไม่มีพื้นฐานทางคณิตศาสตร์มากนัก โจทย์ข้อนี้จึงซับซ้อนพอสมควรสำหรับพวกเขา พอดีเด็กๆหลายคนบ่นออกมา อาจารย์ก็พูดด้วยความโมโหว่า “ใครคิดไม่ได้ไม่ให้กลับบ้าน” เมื่อได้ยินดังนั้นเด็กก็จำต้องทำโจทย์นั้นอย่างตั้งใจ

ทุกคนทดเลขมือเป็นระวิง บางคนกดดันจนเหงื่อออก ขณะที่บางคนยังนับนิ้วอยู่ด้วยซ้ำ

เมื่อเห็นนักเรียนทุกคนนั่งทำโจทย์โดยไม่ส่งเสียงใดออกมา คุณครูก็ฟุบนอนลงเพื่อพักผ่อนแต่ทันใดนั้นก็มีเสียงดังขึ้นว่า ” คุณครูครับผมทำเสร็จแล้วครับ”

คุณครูไม่เชื่อว่าจะมีเด็กคนไหนทำได้เร็วขนาดนี้ เนื่องจากเขาเองก็ใส่เวลาในการหาคำตอบตั้งครึ่งชั่วโมง คุณครูเลยพูดว่า “เธอคำนวณผิดแล้วล่ะ กลับไปที่โต๊ะแล้วคิดดูใหม่”

“ผมคิดว่าผมคำนวณถูกต้องแล้วครับ คุณครูลองตรวจดูซิครับ” ครูเงยหน้าอย่างไม่เต็มใจนัก เด็กที่แก้โจทย์เสร็จก็คือเกาส์นั้นเอง

G

วิธีคิดของเกาส์คือ นำเลขหน้ากับเลขท้ายมาบวกกัน จากนั้นคูณด้วยจำนวนคู่ ดังนั้น 1+100 = 101,   2+99=101, …. 50+51 =101 จะเห็ได้ว่ามี 50คู่ และแต่ละคู่บวกกันได้ 101 ดังนั้นผลรวมของ 1 ถึง 100 คือ 101 x 50 = 5050

ครูถึงกับตกตะลึงเพราะเขาใช้เวลาคิดตั้งครึ่งชัวโมงกว่าจะได้คำตอบในขณะที่เกาส์ใช้เวลาเพียงไม่กี่วินาที และสุดท้ายเขาก็กลายเป็นนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียง

นิวตันกับปัญหาวัวกินหญ้า

เซอร์ ไอแซก นิวตัน เป็นที่รู้จักของคนทั่วโลกเนื่องจากความสำเร็จทางด้านฟิสิกส์ แต่ความสามารถทางด้านคณิตศาสตร์ของเขาก็ได้รับการยอมรับเช่นกัน เขาได้คิดปัญหาทางคณิตศาสตร์ขึ้นมาข้อหนึ่งนั่นคือ “ปัญหาวัวกินหญ้า”

“ปัญหาวัวกินหญ้า” กล่าวถึงฟาร์มแห่งหนึ่งซึ่งมีหญ้าเขียวขจีอยู่มากมายโดยหญ้าเหล่านี้จะงอกใหม่ขึ้นทุกวันหลังจากถูกวัวกิน วัว 27 ตัวจะกินหญ้าหมดในเวลา 6 วัน หากมีวัว 23 ตัวจะกินหมดในเวลา 9 วัน หากมีวัว 21 ตัวจะกินหมดในกี่วัน

n

จุดสำคัญของปัญหานี้คือต้นหญ้าที่งอกใหม่ขึ้นทุกวัน ถ้าเราละเลยจุดนี้ไปเราจะไม่สามารถแก้ปัญหาได้เลย

ปัญหานี้สามารถคำนวณได้ดังนี้ ก่อนอื่นสมมุติให้วัว 1 ตัวกินหญ้าวันละ1 หน่วย
เงื่อนไขแรก วัว 27 ตัวกินหญ้า 6 วัน ดังนั้นจึงเท่ากับ 27×6 = 162 หน่วย
เงื่อนไขสอง วัว 23 ตัวกินหญ้า 9 วัน ดังนั้นจึงเท่ากับ 23×9 = 207 หน่วย

เนื่องจากปริมาณหญ้าที่มีอยู่เดิมนั้นเท่ากัน ส่วนต่างจึงเกิดจากหญ้าที่งอกมาใหม่ แสดงว่ามีหญ้าขึ้นมา 207-162 = 45 หน่วย ถายในเวลา 9-6 = 3วัน ดังนั้นในแต่ละวันจะมีหญ้างอกใหม่ 45\3 = 15 หน่วย

จากเงื่อนไขหนึ่ง วัว 27ตัว กินหญ้า 162 หน่วยในเวลา 6 วันแสดงว่านอกจากจะกินหญ้าที่มีอยู่เดิมยังต้องกินหญ้าที่งอกใหม่ 15×6 = 90 หน่วย แสดงว่าปริมาณหญ้าที่มีอยู่เดิมคือ 162-90 = 72 หน่วย

จากคำถามหากมีวัว 21 ตัวจะกินหญ้าหมดภายในกี่วัน

เราสามารถแบ่งวัวออกเป็น 2 กลุ่ม
กลุ่มแรกมี 15 ตัวให้กินหญ้าที่งอกมาใหม่ในแต่ละวัน วันละ15 หน่วย
กลุ่มที่สองมี 6 ตัวเพื่อให้กินหญ้าที่มีอยู่เดิม ซึ่งมันจะกินหมดภายในเวลา 72/6 = 12 วัน

ดังนั้นคำตอบคือ 12 วัน

คำถามข้อนี้จำเป็นต้องเข้าใจถึงปริมาณหญ้าที่เปลื่ยนแปลงไป และคำนวณหญ้าที่งอกในแต่ละวันได้ ถ้าทำสำเร็จก็จะแก้ปัญหาข้อนี้ได้อย่างง่ายดาย

“ทักษะการเชื่อมโยง” (คณิตศาสตร์)

TR-027“ทักษะการเชื่อมโยง”
แนวคิดนี้ได้นำมาใช้ในการทำงานของเครื่องอัตโนมัติที่ใช้อ่านรหัสไปรษณีย์ที่เขียนด้วยลายมือ การจำแนกว่า “รูปร่างที่ถูกปิดล้อมด้วยเส้นนั้น ไม่ว่าจะเป็นรูปสามเหลื่ยมก็ดี สี่เหลื่ยมก็ดี หลายเหลี่ยมเบี้ยวๆก็ดี ล้วนเป็นรูปประเภทเดียวกับวงกลม” หรือ”เลข 6 ก็ดีเลข 9 ก็ดี ล้วนแต่มีเส้นยื่นออกจากวงกลม จัดเป็นรูปร่างชนิดเดียวกัน” การแบ่งประเภทเช่นนี้ทำให้ได้โดยสมมุติว่า “รูปร่างที่เกิดจากหนังยาง” ซึ่งเป็นวิธีคิดแบบคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า “ทอพอโลยี” (Topology)นั่นเอง
การใช้ “ทักษะการเชื่อมต่อ” นั่นไม่มีขีดจำกัด แต่ก็ใช่ว่าจะจับโน้นผสมนี้มั่วๆแล้วได้เป็นสินค้าใหม่ออกมา สิ่งสำคัญคือการนำเอาจินตนการอันบรรเจิดที่สามารถมองทะลุถึงแก่นของ “ความน่าใช้งาน” จึงจะทำให้เกิดผลิตภัณฑ์ใหม่ที่น่าสนใจและดึงดูดใจขึ้นมาได้จริง

ทักษะการตัดทิ้ง (คณิตศาสตร์)

“ทักษะการตัดทิ้ง”
เวลาพิจรณาปัญหาที่ยุ่งยากซับซ้อนนั้น วีธีที่นิยมทำกันมากคือ การตัดส่วนปลีกย่อยของปัญหานั้นออกๆไป และเขียนรูปอธิบายอย่างง่ายขึ้นมาแทน เพื่อให้มองเห็นแก่นแท้ของปัญหาได้โดยตรง การตัดข้อมูลที่ไม่จำเป็นออก เหลือแต่ข้อมูลที่จำเป็นไว้ เรียกว่าการย่อความ
ด
หากชอบการเดินทางแล้วบางท่านอาจมีคำถามว่าเราจะเดินทางไปกลับระหว่างเมืองอย่างไรโดยไม่ใช้เส้นทางเดิม ซึ่งจะตรงกับโจทย์คณิตศาสตร์เกี่ยวกับการวาดรูปโดยไม่ยกปากกา โดยปัญหาที่โด่งดังที่เป็นที่รู้จักก็คือปัญหาของสะพานทั้ง 7 แห่งเมืองเคอนิกสแบร์ก คำถามมีอยู่ว่า “หากอยากเดินเนในเมือง โดยกำหนดเส้นทางให้เดินข้ามสะพานที่มีอยู่ในเมืองทั้ง 7 แห่งให้ครับแห่งล่ะครั้งเท่านั้น จะทำให้ได้หรือไม่?” นักคณิตศาสตร์ชื่อ เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ได้ตอบคำถามข้อนี้โดยกล่าวว่า “ถ้าผืนดินหรือเกาะที่มีสะพานทอดออกไปเป็นจำนวนคี่มีอยู่ไม่เกิน 2 แห่งแล้ว ก็จะสามารถเดินเล่นตามต้องการได้ แต่สำหรับเมืองนี้มีถึง 4 แห่งจึงทำไม่ได้” ซึ่งออยเลอร์เข้าใจว่าโจทย์ของเมืองก็เหมือนกับโจทย์การวาดรูปโดยไม่ยกปากกา
ดังนั้นเทคนิคการย่อความหรือทำรูปอย่างง่ายเพื่อให้เข้าถึงแก่นแท้ของปัญหานั้น ไม่ใช่อะไรอื่นไกลเลย คือ “ทักษะการตัดทิ้ง” นั้นเอง

ทักษะการจัดเรียงรูป (คณิตศาสตร์)

“ทักษะการจัดเรืยงรูป”

แนวคิดที่ว่า “เมื่อทำการเลื่อนรูปใดๆ ส่วนที่หายไปกับส่วนที่ยื่นออกมาจะมีพื้นที่เท่ากัน” ใช้กันมาตั้งแต่โบราณและไม่ได้จำกัดแค่ในวิชาคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ละวิชาอาจใช้แนวคิดที่แตกต่างกันออกไปซึ่งดูเผินๆก็เป็นวิธีคิดที่ไม่เหมือนกันด้วย จึงทำให้ถูกมองว่าเป็นคนละวิธีกัน เนื่องจากบทบาทของวิชาคณิตศาสตร์คือ “มองทะลุถึงแก่นแท้ เพื่อทำให้เรื่องราวต่างๆง่ายขึ้น” ดังนั้น คณิตศาสตร์จึงสามารถรวบรวมสิ่งต่างๆที่แตกต่างกัน แต่โดยเนื้อแท้แล้วเหมือนกันเข้าไว้ด้วยกันได้ เช่น การแก้โจทย์ปัญหาพื้นที่ โดยอาศัยหลักกการที่ว่า “ถ้าหายไปเท่าไร ก็เพิ่มขึ้นเท่านั้น”

TR-051
ตัวอย่างของหลักการที่ว่า “ถ้าหายไปเท่าไร ก็เพิ่มขึ้นเท่านั้น” ที่เป็นที่รู้จักดีคือเรื่องราวของ อาร์คิมีดิส (นักคณิตศาสตร์ ที่มีชีวิตในช่วงสมัยกรีกโบราณ) ได้นำวิธีนี้มาแก้ไขปัญหาของพระราชาว่ามงกฎที่ช่างทองทำนั้นทำจากทองคำแท้ทั้งหมดหรือไม่ และวิธีที่ อาร์คิมีดิสใช้ก็คือ การเติมน้ำให้เต็มภาชนะแล้วหย่อนมงกฎลงไป ก็จะสามารถหาปริมาตรของมงกุฎได้จากปริมาตรน้ำที่ไหนออกมา
ซึ่งในแวดวงคณิตศาสตร์เรียกหลักการ “ถ้าหายไปเท่าไร ก็เพิ่มขึ้นเท่านั้น” ว่า “หลักของคาวาลีเอรี” (Cavalieri’s Principle) ตามชื่อนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี่

ทักษะการแยกแยะ (คณิตศาสตร์)

“ทักษะการแยกแยะ” การหาสิ่งที่ต่างจากพวก จะช่วยสร้างความสามารถในการมองสิ่งต่างๆด้วยมุมมองที่หลากหลายได้ ซึ่งคำตอบที่ถูกต้องอาจไม่ได้มีเพียงหนึ่งเดียว แต่ขึ้นอยู่กับมุมมองในการตั้งคำถามของเรา และวิธีคิดที่แตกต่างกันก็มีความสำคัญในสถานการณ์ที่แตกต่างกันไปด้วย การแก้ปัญหาต่างๆที่เกิดขึ้นก็เช่นกัน สิ่งที่สำคัญอันดับแรกก็คือ “ทักษะการแยกแยะ”

TR-033

นักคณิตศาสตร์ชาวเยอร์มัน ชื่อ เฟลิกซ์ ไคลน์ ได้กล่าวไว้ว่า “คณิตศาสตร์ตัดสินกันที่วิธีการดัดแปลงรูปร่างภายใต้เงื่อนไขเดิม” ยกตัวอย่างเช่น การคำนวณพื้นที่ของรูปที่ซับซ้อน เราควรจะดัดแปลงรูปเสียใหม่ให้ดูง่ายขึ้น ภายใต้เงือนไขว่าพื้นที่ยังเท่าเดิม เราก็จะสามารถแก้ปัญหาได้อย่างง่ายดาย สรุปคือเมื่อจะวิเคราะห์เรื่องราวใดก็ตาม ก็ต้องตัดสินให้ได้ว่า “แก่น” ของเรื่องนี้อยู่ที่ใด แล้วจึงดัดแปลงปัญหานั้น โดยให้แก่นของเรื่องยังอยู่เหมือนเดิม การเปลื่ยนหรือการดัดแปลงปัญหาใหง่ายขึ้น คือ ทักษะสำคัญทางคณิตศาสตร์

Continue reading