แก้โจทย์เรขาคณิตโดยแทนค่าสมการ

การแก้โจทย์เรขาคณิตและแก้โจทย์สมการมักถูกมองว่าเป็นคนละเรื่องไม่สามารถนำมาใช้ร่วมกันได้ แต่ในการแก้โจทย์เรขาคณิตบางครั้งต้องนำความรู้เกี่ยวกับการแก้โจทย์สมการมาร่วมใช้งาน เช่น โจทย์ตัวอย่างนี้

จงหาค่าของมุม a จากรูปที่กำหนดให้

20160527113645

วิธีการแก้โจทย์

จากความรู้เรื่องมุมภายนอกจะทราบว่า มุม ACE จะเท่ากับผลรวมของมุม ABC และมุม BAC ดังนั้นเราสามารถเขียนในรูปของสมการได้ว่า x + x = 60 + o + o (สมการที่ 1)

และใช้ความรู้จากเรื่อมุมภายนอกเช่นกันจะทราบว่า มุม DCE จะเท่ากับผลรวมของมุม BDC และมุม DBC ดังนั้นเราสามารถเขียนในรูปของสมการได้ว่า x = o + a (สมการที่ 2)

จากนั้นแทนค่า x ในสมการที่ 2 ลงไปในสมการที่ 1 จะได้ว่า o + a + o + a = 60 + o + o ; เนื่องจากทั้ง 2 ฝั่งมีจำนวนของ o เท่ากันเมื่อตัด o ทิ้งจะได้ a + a = 60 ดังนั้น a = 30 องศา

Advertisements

4 ขั้นตอนการแก้โจทย์ปัญหาของ Polya

George Ploya, นักคณิตศาสตร์ชาวฮังการี ได้เขียนถึงวิธีการในการแก้โจทย์ปัญหาทางคณิตศาสตร์ไว้ 4 ขั้นตอน
ขั้นที่ 1 เข้าใจโจทย์ปัญหา ( Understand the problem)
  • อ่านโจทย์ให้ละเอียด ( Read the problem carefully)
  • เขียนข้อมูลทุกอย่างที่โจทย์ให้มา ( Write down the information given in the problem)
  • เขียนว่าโจทย์ต้องการให้หาอะไร ( Write what is being asked to solve or find)
ขั้นที่ 2 สร้างแผนหรือวิธีการในการแก้ปัญหา ( Devise a Plan)
  • เลือกวิธีการให้เหมาะสมในการแก้ปัญหา ( Find a strategy to solve the problem)
    • มองหาความสัมพันธ์ ( Look for a pattern)
    • คิดแบบย้อนกลับ ( Work backwards)
    • ใช้การวาดรูป หรือ แผนผัง ( Draw a diagram or use a model)
    • สร้างตาราง หรือ แทนค่าในสูตร์ ( Make a table or use a formula)
    • แทนค่าตัวเลขและทำการทดสอบ ( Guess and Check)
ขั้นที่ 3 ลงมือทำตามแผนหรือวิธีการที่วางไว้ ( Carry Out the Plan)
  • ลงมือแก้โจทย์ตามวิธีการที่เลือกไว้ ( Try to solve the problem using the strategy chosen)
    • มีข้อมูลเพียงพอหรือไม่ในการแก้โจทย์ปัญหา (Is all the given information used to solve the problem?)
    • สามารถหารูปแบบหรือความสัมพันธ์ได้หรือไม่ (Is there a pattern that can be identified?)
ขั้นที่ 4 ตรวจคำตอบ (Look Back)
  • ตรวจสอบว่ามีความผิดพลาดในวิธีการแก้โจทย์และการคำนวณหรือไม่ (Check for any mistake or error in the process of solving the problem)
  • ตรวจสอบว่าคำตอบถูกต้องหรือไม่ (Check to see if the solution is correct)
  • ค้นหาวิธีการอื่นๆที่ดีกว่าวิธีที่ใช้อยู่ (Think about whether there is a better strategy to solve the problem)

    C2735E77-020D-40D7-A3E4-B7D5C35FDB01

 

โจทย์ปัญหาจำนวนนักเรียน


โรงเรียนแห่งหนึ่งจำนวนนักเรียนชายมากกว่า 3/7 ของจำนวนนักเรียนทั้งหมดอยู่ 46 คน จำนวนนักเรียนหญิงมากกว่า 2/5 ของจำนวนนักเรียนทั้งหมดอยู่ 26 คน จงหาว่ามีนักเรียนทั้งหมดกี่คน?

q

ในการแก้ปัญหานี้จะสามารถแก้ได้ง่ายขึ้นหากสามารถแปลงโจทย์ตัวอักษรที่ให้มาเป็นรูป line diagram ตามรูปด้านบน วิธีการแก้ปัญหานี้คือต้องหาว่าจำนวนคนที่โจทย์ให้มานี้คิดเป็นเศษส่วนเท่าไรของจำนวนคนทั้งหมด ดังนั้นเมื่อนำ 1 – 3/7 – 2/5 = 6/35 และจำนวนคนเท่ากับ 46+36 = 72 คน

ซึ่งหมายความว่า 6/35 ของจำนวนนักเรียนทั้งหมดคือ 72 คน ดังนั้นจำนวนนักเรียนทั้งหมดคือ 35 คูณ 72 หาร 6 เท่ากับ 420 คน


 

 

 

 

การแก้โจทย์แบบคิดย้อนกลับ

มีกล่อง A , B , C ซึ่งบรรจุลูกแก้วจำนวนหนึ่ง 
ครั้งที่ 1 ย้ายลูกแก้วจากกล่อง A ไปกล่อง B เท่ากับจำนวนที่ B มีอยู่ (เช่นถ้า B มีลูกแก้ว 10 ลูกในกล่อง ต้องย้า่ย 10 ลูกจากกล่อง A ไปยังกล่อง B)
ครั้งที่ ย้ายลูกแก้วจากกล่อง ไปกล่อง C เท่ากับจำนวนที่ C มีอยู่
ครั้งที่ 3 ย้ายลูกแก้วจากกล่อง ไปกล่อง A เท่ากับจำนวนที่ A มีอยู่
เมื่อย้ายครบทั้ง 3 ครั้งปรากฎว่าทั้งกล่อง A , B และ C มีลูกแก้วกล่องละ 40 ลูกเท่ากัน อยากทราบว่าในตอนแรกแต่ละกล่องมีลูกแก้วกล่องละเท่าไร?
S__13967446
ในการแก้โจทย์นี้เราต้องใช้วิธีคิดแบบการคิดย้อนกลับโดยแก้ปัญหาจากครั้งที่ 3 ขึ้นไปจนถึงครั้งที่
หลังจากจบครั้งที่ 3 เราทราบว่า A = 40 ลูก ; B = 40 ลูก ; C= 40 ลูก
ในครั้งที่ 3 เราย้ายลูกแก้วจากกล่อง ไปกล่อง เท่ากับจำนวนที่ มีอยู่ ดังนั้นจำนวนลูกแก้วก่อนย้ายครั้งที่ 3  A = 40 – 20 = 20 ลูก ; B = 40 ลูก ; C = 40 + 20 = 60 ลูก 
ในครั้งที่ เราย้ายลูกแก้วจากกล่อง B ไปกล่อง C เท่ากับจำนวนที่ C มีอยู่ ดังนั้นจำนวนลูกแก้วก่อนย้ายครั้งที่ 2  A  20 ลูก ; B = 40+30 = 70 ลูก ; C = 60 – 30 = 30 ลูก 
ในครั้งที่ 1 เราย้ายลูกแก้วจากกล่อง A ไปกล่อง B เท่ากับจำนวนที่ B มีอยู่ ดังนั้นจำนวนลูกแก้วก่อนย้ายครั้งที่ 3  A = 20+35 = 55 ลูก ; B = 70-35 = 35 ลูก ; C = 30  ลูก 
ดังนั้นก่อนย้าย A = 55 ลูก ; B = 35 ลูก และ C = 30 ลูก

พาลินโดรม

ไม่ว่าจะอ่านจากข้างหลังหรือข้างหน้าก็จะได้คำหรือวลีที่อ่านออกเสียงเหมือนเดิม เช่นปี 2002 เกาหลีเป็นเจ้าภาพในการจัดแข่งขันฟุตบอลโลก บางครั้งก็ฝันถึงตัวเลขหรือปีที่มีตัวเลขเป็นพิเศษเช่น 2112 นักคณิตศาสตร์สร้างตัวเลขไว้ในประโยคสนุกๆเหล่านี้ด้วยวิธีการต่างๆ
47 + 74 = 121 
จากที่ 47 สลับตัวเลขจะได้ 74 เมื่อนำมาบวกกันจะได้ 121 แล้ว 121 ไม่ว่าจะอ่านออกเสียงจากด้านหน้าหรือด้านหลังก็จะอ่านออกเสียงเหมือนกัน เราเรียกจำนวนแบบนี้ว่า พาลินโดรม 
เลขพาลินโดรมสามารถสร้างจากการคูณได้เช่นกัน
12 x 21 = 252 
ยังมีกรณีการสร้างเลขพาลินโดรมด้วยการคูณจำนวนสองจำนวนที่ต่อเนื่องกันเช่น  77 x 78 = 6006

1427778030-math_symbol_clipart

มีเรื่องเล่าของนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียชื่อ ศรีนิวาสะ รามานุจันว่าเมื่อเขาไม่สบายและเพื่อนครหนึ่งขับรถทะเบียน 1729 มาเยื่ยม
“หมายเลขทะเบียนรถของนายเท่จัง”
รามานุจันพูด เพื่อของเขาส่ายหน้าแล้วตอบว่า
“พูดอะไรอย่างนั้น 1729 เป็นตัวเลขที่ไม่ได้พิเศษอะไรเลย”
รานมานุจันหัวเราะและพูดว่า
“นายไม่รู้เหรอว่า 1729 มันเท่มากแค่ไหน 1729 เป็นผลรวมของจำนวนที่ยกกำลังสามของ 9 กับ 10 นะ”
9 x 9 x 9 = 729
10 x 10 x 10 = 1000
729 + 1000 = 1729
“จริงๆด้วย นายรู้ได้ไงเนี่ย”