อคิลลิสจะไล่เต่าทันหรือไม่?

เมื่อราว 500 ปีก่อนคริสตการ ซีโน นักปรัชญาชาวกรีกได้กล่าวไว้ว่า
” อคิลลิสจะไม่มีวันไล่ตามเต่าที่นำหน้าอยู่ได้ เพราะเมื่ออคิลลิสไปถึงตำแหน่งที่เต่าเคยอยู่ ระหว่างนั้นเต่าก็เคลื่อนที่ไปข้างหน้าแล้ว และเมื่ออคิลลิสพยายามไปยังตำแหน่งที่เต่าอยู่ เต่าก็จะเคลื่อนไปข้างหน้าอีก เป็นเช่นนี้ซ้ำแล้วซ้ำเล่า อคิลลิสจึงไม่สามารถตามเต่าได้ตลอดกาล”
เรื่องเล่านี้เรียกว่า “พาราด็อกซ์ของซิโน” ที่ว่ากันว่าสร้างความปวดหัวให้คนในยุคนั้นที่ไม่อาจหาเหตุผลมาโต้แย้งได้

turtle

หากลองพิจรณากรณีที่อคิลลิสเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเป็น 2 เท่าของเต่าแล้วนำมาคำกล่าวของซีโนมาเทียบเชิงเวลาดู ก่อนอื่นให้เวลาที่อคิลลิสเคลื่อนไปยังตำแหน่งของเต่าเคยอยู่เท่ากับ 1 ระหว่างที่เต่าเคลื่อนไปข้างหน้าด้วยความเร็วเป็น 1/2 ของอคิลลิส นั่นคือในช่วงเวลาถัดไปอคิลลิสจะใช้เวลา 1/2 เพื่อไปยังจุดที่เต่าเคยอยู่ ในทำนองเดียวกันพอช่วงเวลาถัดไปจะใช้ 1/4 และลดน้อยลงที่ละครึ่ง สามารถเขียนเป็นสูตรได้ดังนี้
เวลาที่ใช้ = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +……..
จะเห็นได้ว่า สูตรนี้ยาวต่อเนื่องไปไม่สิ้นสุด ทำให้เข้าใจว่าเวลาที่ใช้ต้องเพิ่มขึ้นไปจนถึงอนันต์ อย่างไรก็ตาม ความเข้าใจเช่นนี้ไม่ถูกต้อง เพราะเมื่อคำนวนสูตรนี้ออกมาค่าที่ได้จะมีค่าเท่ากับ 2 นั้นคือ ถ้าให้เวลาที่ไปถึงต่ำแหน่งที่เต่าเคยอยู่ตอนแรกเป็น 1 นาที อคิลลิสก็จะตามเต่าทันได้ในเวลาเพียง 2 นาที
ในสมัยโบราณยังไม่มีแนวคิดเรื่องค่าอนันต์และฟังค์ชั่นเลย จึงไม่น่าแปลกใจที่ปัญหานี้เป็นปัญหาที่ยุ่งยากปัญหาหนึ่งในสมัยนั้น
Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s