มีปลาคาร์ปกี่ตัว

มีชายผู้หนึ่งได้ซื้อสัตว์น้ำต่างๆมาในราคา 3,600 บาท ประกอบด้วยหอยสีทองราคาตัวละ 130 บาท หอยสีขาวตัวละ 104 บาท กุ้งตัวละ 78 บาท และปลาคาร์ปตัวละ 170 บาท อยากรู้ว่าซื้อปลาคาร์ปมากี่ตัว?
TR-033
สิ่งที่ยากสำหรับโจทย์นี้คือไม่รู้ว่าจำนวนรวมของสัตว์ทั้งหมดมีกี่ตัว จะเดาสุ่มและค่อยๆเพิ่มหรือลดสัตว์ที่ละชนิดก็ค่อนข้างใช้เวลามาก ดังนั้น การแก้โจทย์ข้อนี้จึงต้องหาความต่างระหว่างปลาคาร์ปและสัตว์น้ำอื่นๆ

หากเราดูราคาของสัตว์ทุกชนิดจะเห็นได้ว่านอกจากปลาคาร์ปแล้วสัตว์น้ำอื่นๆจะสามารถหารด้วย 13 ได้ลงตัว ซึ่งหมายความว่าหากไม่นับปลาคาร์ปแล้วละก็ไม่ว่าจะซื้อสัตว์น้ำชนิดอื่นมากขนาดไหนก็จะสามารถหารด้วย 13 ได้ลงตัว

ปลาคาร์ปราคาตัวละราคา 170 บาทเมื่อนำมาหารด้วย 13 จะได้เท่ากับ 13 เศษ 1 ดังนั้นนำเอาราคาทั้งหมดคือ 3,600บาท มาหารกับ 13จะได้เท่ากับ 276 เศษ 12 จึงมีปลาคาร์ปทั้งหมด 12 ตัว

อคิลลิสจะไล่เต่าทันหรือไม่?

เมื่อราว 500 ปีก่อนคริสตการ ซีโน นักปรัชญาชาวกรีกได้กล่าวไว้ว่า
” อคิลลิสจะไม่มีวันไล่ตามเต่าที่นำหน้าอยู่ได้ เพราะเมื่ออคิลลิสไปถึงตำแหน่งที่เต่าเคยอยู่ ระหว่างนั้นเต่าก็เคลื่อนที่ไปข้างหน้าแล้ว และเมื่ออคิลลิสพยายามไปยังตำแหน่งที่เต่าอยู่ เต่าก็จะเคลื่อนไปข้างหน้าอีก เป็นเช่นนี้ซ้ำแล้วซ้ำเล่า อคิลลิสจึงไม่สามารถตามเต่าได้ตลอดกาล”
เรื่องเล่านี้เรียกว่า “พาราด็อกซ์ของซิโน” ที่ว่ากันว่าสร้างความปวดหัวให้คนในยุคนั้นที่ไม่อาจหาเหตุผลมาโต้แย้งได้

turtle

หากลองพิจรณากรณีที่อคิลลิสเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเป็น 2 เท่าของเต่าแล้วนำมาคำกล่าวของซีโนมาเทียบเชิงเวลาดู ก่อนอื่นให้เวลาที่อคิลลิสเคลื่อนไปยังตำแหน่งของเต่าเคยอยู่เท่ากับ 1 ระหว่างที่เต่าเคลื่อนไปข้างหน้าด้วยความเร็วเป็น 1/2 ของอคิลลิส นั่นคือในช่วงเวลาถัดไปอคิลลิสจะใช้เวลา 1/2 เพื่อไปยังจุดที่เต่าเคยอยู่ ในทำนองเดียวกันพอช่วงเวลาถัดไปจะใช้ 1/4 และลดน้อยลงที่ละครึ่ง สามารถเขียนเป็นสูตรได้ดังนี้
เวลาที่ใช้ = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +……..
จะเห็นได้ว่า สูตรนี้ยาวต่อเนื่องไปไม่สิ้นสุด ทำให้เข้าใจว่าเวลาที่ใช้ต้องเพิ่มขึ้นไปจนถึงอนันต์ อย่างไรก็ตาม ความเข้าใจเช่นนี้ไม่ถูกต้อง เพราะเมื่อคำนวนสูตรนี้ออกมาค่าที่ได้จะมีค่าเท่ากับ 2 นั้นคือ ถ้าให้เวลาที่ไปถึงต่ำแหน่งที่เต่าเคยอยู่ตอนแรกเป็น 1 นาที อคิลลิสก็จะตามเต่าทันได้ในเวลาเพียง 2 นาที
ในสมัยโบราณยังไม่มีแนวคิดเรื่องค่าอนันต์และฟังค์ชั่นเลย จึงไม่น่าแปลกใจที่ปัญหานี้เป็นปัญหาที่ยุ่งยากปัญหาหนึ่งในสมัยนั้น

จงหาผลรวมของ 1+3+5+7+…..+95 = ?

จงหาผลรวมของ 1+3+5+7+…..+95 = ?

คำถามบางคำถามง่ายในการทำความเข้าใจว่าต้องการหาอะไรแต่ไม่ง่ายในการแก้ปัญหา เช่นคำถามด้านบน แม้แต่เด็กประถมยังเข้าใจว่าโจทย์ต้องการอะไร แต่ ผู้ใหญ่หลายคนอาจยังไม่สามารถแก้ปัญหาข้อนี้ได้ หลายคนเมื่อเจอคำถามข้อนี้สิ่งแรกที่คิดคือถึงคือเครื่องคิดเลข
การแก้โจทย์นี้ทำได้หลากหลายวิธีการ แม้สุดท้ายจะได้คำตอบเหมือนกันแต่ความยุ่งยากต่างกันและหากมีหลายขั้นตอนอาจทำให้คำนวณผิดได้
ตัวอย่างการแก้โจทย์ ( ไม่รวมการบวกที่ละตัว เพราะค่อนข้างเสียเวลาและเกิดความผิดพลาดได้ง่าย)

TR-033

วิธีที่ 1
นำเอา 1+3+5+7+9 = 25 ; จากนั้นหากสังเกตจะเห็นว่า การรวมของ 11+13+15+17+19 = 10+10+10+10+10+1+3+5+7+9 = 50 + 25 ส่วนของ 21 ถึง 29 ก็เช่นกันจะเท่ากับ 100 + 25 จากนั้นนำผมรวมมารวมกันเป็น 25 + 75 + 125 + 175 + 225 + 275 + 325 + 375 + 425 + 91 + 93 + 95 = 2304
แม้จะทำให้ง่ายขึ้นในการลดขั้นตอนการบวกแต่ก็ยังมีการบวกเลขที่เยอะและยังเกิดความผิดพลาดได้ง่าย

วิธีที่ 2
นำการจัดกลุ่มเพื่อให้ตัวเลขเท่ากันและใช้หลักการคูณเข้ามาช่วย เมื่อนำเอาตัวเลขตัวแรกและตัวสุดท้ายมารวมกันคือ 1+95 จะได้ 96 และหากนำตัวเลขตัวที่สองมารวมกับตัวรองสุดท้ายคือ 3+93 =96 เมื่อทำต่อไปเรื่อยๆจะได้ 5+ 91= 96 จะเห็นได้ว่าคือการนำเอา 96 มารวมกัน จากนั้นก็ต้องหาว่ามีการรวมกันกี่ชุด (หลายคนอาจสับสนตรงนี้ 1-95 ประกอบด้วยเลขคี่จำนวน 95+1 หาร 2= 48 ตัวเมื่อนำมาจับคู่จะได้ ทั้งหมด 48/2 = 24ชุด) ดังนั้นการแก้โจทย์นี้คือเอา 96 x 24 = 2304
แม้วิธีนี้จะง่ายแต่อาจไม่เหมาะกับเด็กประถมต้นเพราะการคูณเลข 2 จำนวนเป็นเรื่องที่ค่อนข้างยาก

วิธีที่ 3
นำเอาวิธีที่ 2 มาประยุกต์เพิ่มเติมเพื่อให้จัดกลุ่มและคูณได้ง่าย หากสังเกตุดูจะเห็นได้ว่าถ้าโจทย์กำหนดให้บวกถึง 99 จะง่ายกว่าทั้งการรวมเลขและจัดกลุ่มดังนั้นเราจะใช้วิธีเพิ่มและลด เพื่อให้ง่ายต่อการคำนวณ โดยการปรับโจทย์ให้เป็น 1+3+5+7+9+…..+95 +97+99 -97-99
จากนั้นนำวิธีที่ 2 มาใช้จะได้เท่ากับ (1+99) + (3+97) + …….+(49+51) -97-99 = (100×25) -200 + 4 = 2500-200+4 = 2304
ซึ่งเป็นวิธีที่ง่ายการรวมเลขไม่ซับซ้อน และ ยังสามารถตรวจสอบได้ง่ายว่าคำนวณผิดหรือไม่ (วิธีทำดังรูปด้านล่าง)

answer

วิธีที่ 4
แน่นอนว่าคำถามนี้คงเป็นคำถามที่มีมาตั้งแต่สมัยอดีต และแน่นอนว่าต้องมีนักคณิตศาสตร์ที่คิดค้นวิธีการแก้ปัญหานี้โดยการสร้างสูตรสำเร็จ และสูตรนั้นคือ
1+3+5+7+…+(2n-1) = n x n ; ให้ n เป็นจำนวนธรรมชาติ
เมื่อเทียบกับโจทย์ด้านบน 2n – 1 = 95 ดังนั้น n = 48 เมื่อนำเอา 48x 48 = 2304

จะเห็นได้ว่าคำถามเดียวสามารถหาคำตอบได้หลากหลายวิธี การแก้ปัญหาคณิตสาสตร์จะง่ายหรือยากบางครั้งอาจขึ้นอยู่กับวิธีการในการหาคำตอบของเรา