ฟีโบนัชชี กับจำนวนคู่ของกระต่าย

เลโอนาร์โด ฟิโบนัชชี เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี ผลงานชิ้นสำคัญที่สุดของเขาคือการค้นพบ “จำนวนฟีโบนัชชี” ซึ่งเป็นลำดับตัวเลขที่เป็นที่ชื่นชมของคนทั้งโลก

คำถามข้อนี้มีอยู่ว่า “ถ้ากระต่ายหนึ่งคู่ออกลูกได้เดือนละคู่ และลูกกระต่ายสามารถแพร่พันธ์ต่อได้ในเดือนที่สองหลังเกิด ผ่านไปหนึ่งปีจะมีกระต่ายกี่คู่”
จากโจทย์สามารถคำนวณได้ว่า
เดือนที่ 1 จะมีกระต่ายหนึ่งคู่ คือ คู่แรกคู่เดียว
เมื่อเข้าเดือนที่ 2 กระต่าย 1 คู่จะเพิ่มเป็น 2 คู่
เดือนที่ 3  กระต่าย 2 คู่จะเพิ่มเป็น 3 คู่
เดือนที่ 4  กระต่าย 3 คู่จะเพิ่มเป็น 5 คู่
เดือนที่ 5 กระต่าย 5 คู่จะเพิ่มเป็น 8 คู่
เดือนที่ 6 กระต่าย 8 คู่จะเพิ่มเป็น 13 คู่

phibo02

จำนวนคู่ของกระต่ายแต่ละเดือนคือ 1,2,3,5,8,13 ซึ่งเห็นได้ว่านอกจากเลขสองลำดับแรกแล้ว เลขลำดับถัดมาต่างเป็นผลบวกของเลขสองลำดับก่อนหน้านั้นทั้งสิ้น จากลำดับดังกล่าวเราสามารถเรียงลำดับจำนวนคู่ของกระต่ายในแต่ละเดือนเป็น 1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233 ดังนั้นในหนึ่งปีจะมีกระต่าย 233 คู่ ดังนั้นผู้คนจึงตั้งชื่อลำดับตัวเลขดังกล่าวว่า “จำนวนฟีโบนัชชี” เพื่อรำลึกถึงเขา

จำนวนฟีโบนัชชี หมายถึง จำนวนต่างๆที่อยู่ในลำดับดังนี้ 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,… โดยลำดับสองจำนวนแรกเป็น 0 และ 1 ส่วนจำนวนถัดไปจะมีค่าเป็นผลบวกของจำนวนก่อนหน้า
เรามักพบ จำนวนฟีโบนัชชี แฝงอยู่ในธรรมชาติมากมายเช่น ความโค้งของตาสัปปะรด ตาลูกสน เกสรดอกทานตะวัน อัตราส่วนทองคำ และ เส้นโค้งก้นหอยแบบลอการิทึม

Advertisements

คำถามที่นักคิดเลขในใจต้องอึ้ง

ทุกคนรู้จักการคิดเลขในใจ การคิดเลขในใจเป็นการคำนวณที่ใช้การนึกคิด โดยไม่ต้องพึ่งอุปกรณ์ช่วยเหลือใดๆสามารถฝึกการคิดในใจโดยใช้เทคนิคในการคำนวณต่างๆ

ตัวอย่างเช่น เอาจำนวนใดๆที่มี 2 หลักมาคูณ 11 ผลลัพธ์ที่จะได้เป็นดังนี้
– หลักร้อยจะเท่ากับจำนวนเลขหลักสิบของจำนวนนั้น
-หลักสิบจะเท่ากับ ผลบวกของเลขสองตัวนั้น
-หลักหน่วยจะเท่ากับ เลขหลักหน่วยของจำนวนนั้น

เช่น 35×11 = 385
– เลขหลักสิบของ35 คือ 3
– ผลบวกของเลขสองตัวคือ 3+5 = 8
– เลขหลักหน่วยคือ 5
ดังนั้นผลลัพธ์จึงเป็น 385 จะเห็นได้ว่าการคิดในใจจำเป็นต้องใช้เทคนิคบางอย่างในการคำนวณด้วยเพื่อความรวดเร็วในการหาคำตอบ

1427778030-math_symbol_clipart

บนโลกใบนี้มีปรมาจารย์การคิดเลขในใจมากมาย หนึ่งในนั้นคือแอบบอตต์ คามิโอ ความเร็วในการคิดของเขาทำเอาหลายคนตกตะลึง จึงได้รับความชื่นชมเป็นอย่างมาก แต่ด้วยนิสัยที่เป็นคนถือตัวจึงทำให้เกิดเหตุการณ์น่าขบขันนี้ขึ้น

วันหนึ่งตอนที่คามิโอกำลังแสดงความสามารถ เขาได้เชิญคนหนึ่งให้ขึ้นมาถามคำถามบนเวที เขาบอกให้ผู้ชมตั้งโจทย์ยากๆ ผู้ชมคนนั้นคิดอยู่ครู่หนึ่งก่อนถามว่า ” รถไฟฟ้าบรรจุผู้โดยสารได้ 983,747คน สถานีแรกมีคนลง2,583 คน มีคนขึ้น1,987 คน เมื่อถึงอีกสถานีก็มีคนลง 1,265 คน มีคนขึ้น 9,873 คน เมื่อถึงอีกสถานีมีคนลง ….. “ สีหน้าและแววตาของคามิโอยังเต็มไปด้วยความเย่อหยิ่ง ผู้ชมบนเวทียังพูดต่อ ” มีคนลง 998 คนมีคนขึ้น ….”

คามิโอถามเบาๆว่า ” จบหรือยัง”
” ยังไม่จบ” ผู้ชมคนนั้นพูดต่อ ” มีคนลงอีก 1,289 คน มีคนขึ้นอีก 3,674 คน สุดท้ายรถไฟก็หยุดที่สถานีปลายทาง”

” คุณอยากฟังคำตอบทันทีเลยไหม” คามิโอถามอย่างสงบเยือกเย็น

“ผมอยากได้คำตอบตอนนี้เลยแต่ผมไม่ได้อยากรู้ว่าสุดท้ายแล้วมีเหลือผู้โดยสารกี่คน ผมอยากรู้ว่ารถไฟขบวนนี้จอดรับผู้โดยสารกี่สถานี”

พอรู้ว่าผู้ชมท่านนี้ต้องการอะไร คามิโอก็เสียหน้าอย่างแรง เขากล่าวอย่างกระดากอายว่า ” ขอโทษครับ ผมไม่รู้”

ผู้ชมปรมมือดังกึกก้อง แต่ไม่ใช่ให้กับคามิโอ ทว่ามอบให้กับผู้ชมแสนฉลาดและมีไหวพริบคนนั้น

เรื่องนี้สอนให้รู้ว่า การแก้ปัญหาควรที่จะเข้าใจถึงปัญหาอย่างท่องแท้แม้ว่าจะคิดเลขในใจเร็วแค่ไหนแต่ถ้าไม่เข้าใจว่าสิ่งที่ต้องการคืออะไรก็อาจจะไม่สามารถตอบปัญหานั้นได้

ออยเลอร์กับปัญหาสร้างรั้วล้อมแกะ

คณิตศาสตร์ไม่ได้เป็นเพียงแค่บทเรียนในตำราเท่านั้น แต่คณิตศาสตร์อยู่รอบตัวเราเสมอ เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่เคยใช้ความรู้ทางคณิตศาสตร์แก้ปัญหาที่ยุ่งยากให้คุณพ่อของเขามาแล้ว

ออยเลอร์เป็นนักคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ชาวสวิสเซอร์แลนด์ เขาและคาร์ล ฟริดริช เกาส์ได้รับการยกย่องให้เป็นสองนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในประวัติศาสตร์ เขาเป็นผู้เริ่มใช้คำว่า “ฟังก์ชัน” ในความสัมพันธ์ที่เกี่ยวกับตัวแปร และยังเป็นผู้ริเริ่มใช้ “แคลคูลัส” ในฟิสิกส์อีกด้วย

คุณพ่อของเขามีอาชีพเลี้ยงแกะ อยู่มาวันหนึ่งแกะมีจำนวนเพิ่มเป็น 100 ตัว ทำให้แกะมีจำนวนมากกว่าที่จะจุได้ จึงจำเป็นต้องเพิ่มรั้วพื้นที่ให้ใหญ่กว่าเดิม คุณพ่อได้เตรียมพื้นที่สี่เหลี่ยมยาว 40 เมตร และกว้าง 15 เมตร กินพื้นที่ 600 ตารางเมตร เพื่อสร้างรั้วล้อมแกะ เพราะแกะแต่ละตัวต้องการพื้นที่ 6 ตารางเมตร

P5339599-25

แต่แล้วก็มีปัญหาตามมา พื้นที่ 600 ตารางเมตร ต้องใช้ความยาวรั้ว 15+15+40+40 = 110 เมตร แต่คุณพ่อเตรียมรั้วเพียง 100 เมตรจึ่งต้องเพิ่มวัสดุ แต่หากลดความยาวรั้วลงพื้นที่ก็จะลดลงตามไปด้วย

เมื่อออยเลอร์ทราบถึงปัญหาจึงได้เสนอวิธีช่วยล้อมรั้วให้คุณพ่อ โดยการลดขนาดความยาวจาก 40   เมตรให้เหลือเพียง 25 เมตร และเพิ่มความกว้างเป็น 25 เมตรเช่นกัน ดังนั้นจากพื้นที่สี้เหลื่ยมขนาด  40×15 ก็เปลื่ยนเป็นสี่เหลื่ยมจัตุรัสขนาดด้านละ 25 เมตร

เมื่อลองมาคำนวณความยาวรั้วจะได้เท่ากับ 25+25+25+25 = 100 เมตร ซึ่งจะพอดีกับวัสดุที่เตรียมมา นอกจากนี้พื้นที่ยังเท่ากับ 25×25 = 625 ตารางเมตรซึ่งมีพื้นที่เพิ่มขึ้นอีกด้วย

( สำหรับสี่เหลื่ยมใดๆที่มีเส้นรอบรูปยาวเท่ากัน สี่เหลื่ยมจัตุรัสจะมีพื้นที่มากมี่สุด)

The Elements ของยุคลิด กับปัญหาวาดวงกลมให้เป็นสี่เหลื่ยมจัตุรัส

ยุคลิดเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกที่มีชีวิตอยู่ประมาณ พ.ศ. 218 แม้ว่าเรื่องราวเกี่ยวกับยุคลิดยังคงสับสนแต่ผลงานเรื่อง The Elements ยังนำมาใช้อยู่จนทุกวันนี้

The Elements แบ่งออกเป็นหนังสือ 13 เล่ม สำหรับ 6 เล่มแรกเป็นผลงานเกี่ยวกับเลขาคณิต เล่ม7ถึง 9 เป็นทฤษฎีเกี่ยวกับตัวเลข เล่ม10 เป็นทฤษฎีเกี่ยวกับจำนวนอตรรกยะ และ 3 เล่มสุดท้ายเกี่ยวกับรูปเรขาคณิตทรงตัน และรูปทรงหลายเหลื่ยม

E

โดยเฉพาะเรื่องรูปทรงเรขาคณิต ซึ่งเป็นรากฐานสำคัญของเลขาคณิตในปัจจุบัน จากเนื้อหาในหนังสือทำให้เกิดปัญหาที่แก้ไม่ได้คือ สามารถวาดวงกลมให้เป็นรูปสี่เหลื่ยมจัตุรัสได้หรือไม่ จนกระทั่งปลายศตวรรษที่19 รีมันน์ได้พิสูจน์แล้วว่า ค่าพาย เป็นจำนวนอดิศัย (ไม่เป็นรากของสมการพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ) จึงเป็นการยืนยันว่าปัญหานี้ไม่สามารถทำได้

เกาส์ผู้แก้โจทย์ปัญหาอันซับซ้อน

ในเยอรมันมีเด็กชายคนหนึ่งชื่อ คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ เขามีพรสวรรค์ทางด้านคณิตศาสตร์มาตั้งแต่เด็ก เมื่ออายุ 3 ปี เกาส์เห็นความผิดพลาดในบัญชีของพ่อและสามารถแก้ไขได้ในเวลาอันรวดเร็ว และเมื่ออายุ 10 ปีเขาก็ทำให้ครูคณิตศาสตร์ต้องตกตะลึง

วันนั้นครูของเกาส์อารมณ์ไม่ดี ไม่อยากสอนหนังสือจึงให้เด็กทำเลขข้อหนึ่งคือให้หาค่าของ 1+2+3+4+5+…..+100

เนื่องจากเด็กๆยังไม่มีพื้นฐานทางคณิตศาสตร์มากนัก โจทย์ข้อนี้จึงซับซ้อนพอสมควรสำหรับพวกเขา พอดีเด็กๆหลายคนบ่นออกมา อาจารย์ก็พูดด้วยความโมโหว่า “ใครคิดไม่ได้ไม่ให้กลับบ้าน” เมื่อได้ยินดังนั้นเด็กก็จำต้องทำโจทย์นั้นอย่างตั้งใจ

ทุกคนทดเลขมือเป็นระวิง บางคนกดดันจนเหงื่อออก ขณะที่บางคนยังนับนิ้วอยู่ด้วยซ้ำ

เมื่อเห็นนักเรียนทุกคนนั่งทำโจทย์โดยไม่ส่งเสียงใดออกมา คุณครูก็ฟุบนอนลงเพื่อพักผ่อนแต่ทันใดนั้นก็มีเสียงดังขึ้นว่า ” คุณครูครับผมทำเสร็จแล้วครับ”

คุณครูไม่เชื่อว่าจะมีเด็กคนไหนทำได้เร็วขนาดนี้ เนื่องจากเขาเองก็ใส่เวลาในการหาคำตอบตั้งครึ่งชั่วโมง คุณครูเลยพูดว่า “เธอคำนวณผิดแล้วล่ะ กลับไปที่โต๊ะแล้วคิดดูใหม่”

“ผมคิดว่าผมคำนวณถูกต้องแล้วครับ คุณครูลองตรวจดูซิครับ” ครูเงยหน้าอย่างไม่เต็มใจนัก เด็กที่แก้โจทย์เสร็จก็คือเกาส์นั้นเอง

G

วิธีคิดของเกาส์คือ นำเลขหน้ากับเลขท้ายมาบวกกัน จากนั้นคูณด้วยจำนวนคู่ ดังนั้น 1+100 = 101,   2+99=101, …. 50+51 =101 จะเห็ได้ว่ามี 50คู่ และแต่ละคู่บวกกันได้ 101 ดังนั้นผลรวมของ 1 ถึง 100 คือ 101 x 50 = 5050

ครูถึงกับตกตะลึงเพราะเขาใช้เวลาคิดตั้งครึ่งชัวโมงกว่าจะได้คำตอบในขณะที่เกาส์ใช้เวลาเพียงไม่กี่วินาที และสุดท้ายเขาก็กลายเป็นนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียง

นิวตันกับปัญหาวัวกินหญ้า

เซอร์ ไอแซก นิวตัน เป็นที่รู้จักของคนทั่วโลกเนื่องจากความสำเร็จทางด้านฟิสิกส์ แต่ความสามารถทางด้านคณิตศาสตร์ของเขาก็ได้รับการยอมรับเช่นกัน เขาได้คิดปัญหาทางคณิตศาสตร์ขึ้นมาข้อหนึ่งนั่นคือ “ปัญหาวัวกินหญ้า”

“ปัญหาวัวกินหญ้า” กล่าวถึงฟาร์มแห่งหนึ่งซึ่งมีหญ้าเขียวขจีอยู่มากมายโดยหญ้าเหล่านี้จะงอกใหม่ขึ้นทุกวันหลังจากถูกวัวกิน วัว 27 ตัวจะกินหญ้าหมดในเวลา 6 วัน หากมีวัว 23 ตัวจะกินหมดในเวลา 9 วัน หากมีวัว 21 ตัวจะกินหมดในกี่วัน

n

จุดสำคัญของปัญหานี้คือต้นหญ้าที่งอกใหม่ขึ้นทุกวัน ถ้าเราละเลยจุดนี้ไปเราจะไม่สามารถแก้ปัญหาได้เลย

ปัญหานี้สามารถคำนวณได้ดังนี้ ก่อนอื่นสมมุติให้วัว 1 ตัวกินหญ้าวันละ1 หน่วย
เงื่อนไขแรก วัว 27 ตัวกินหญ้า 6 วัน ดังนั้นจึงเท่ากับ 27×6 = 162 หน่วย
เงื่อนไขสอง วัว 23 ตัวกินหญ้า 9 วัน ดังนั้นจึงเท่ากับ 23×9 = 207 หน่วย

เนื่องจากปริมาณหญ้าที่มีอยู่เดิมนั้นเท่ากัน ส่วนต่างจึงเกิดจากหญ้าที่งอกมาใหม่ แสดงว่ามีหญ้าขึ้นมา 207-162 = 45 หน่วย ถายในเวลา 9-6 = 3วัน ดังนั้นในแต่ละวันจะมีหญ้างอกใหม่ 45\3 = 15 หน่วย

จากเงื่อนไขหนึ่ง วัว 27ตัว กินหญ้า 162 หน่วยในเวลา 6 วันแสดงว่านอกจากจะกินหญ้าที่มีอยู่เดิมยังต้องกินหญ้าที่งอกใหม่ 15×6 = 90 หน่วย แสดงว่าปริมาณหญ้าที่มีอยู่เดิมคือ 162-90 = 72 หน่วย

จากคำถามหากมีวัว 21 ตัวจะกินหญ้าหมดภายในกี่วัน

เราสามารถแบ่งวัวออกเป็น 2 กลุ่ม
กลุ่มแรกมี 15 ตัวให้กินหญ้าที่งอกมาใหม่ในแต่ละวัน วันละ15 หน่วย
กลุ่มที่สองมี 6 ตัวเพื่อให้กินหญ้าที่มีอยู่เดิม ซึ่งมันจะกินหมดภายในเวลา 72/6 = 12 วัน

ดังนั้นคำตอบคือ 12 วัน

คำถามข้อนี้จำเป็นต้องเข้าใจถึงปริมาณหญ้าที่เปลื่ยนแปลงไป และคำนวณหญ้าที่งอกในแต่ละวันได้ ถ้าทำสำเร็จก็จะแก้ปัญหาข้อนี้ได้อย่างง่ายดาย

จัตุรัสกล

จัตุรัสกลคือ ตารางขนาด n x n ที่เมื่อใส่ตัวเลขที่ไม่ซ้ำกันในแต่ละช่องจนครบแล้ว จะทำให้ผลบวกของตัวเลขในแนวตั้ง แนวนอน และ แนวทแยงมุมมีค่าเท่ากันหมด ถ้า n = 3 จะได้จัตุรัสขนาด 3 x 3
เราจะลองสร้างจัตุรัสกลขนาด 3 x 3 จำนวนช่องจเท่ากับ 9 ตัวเลขที่นำมาใส่ในช่องจะเป็น 1 – 9 ผลบวกของตัวเลขทั้งหมดเป็น 45 ดังนั้นผลบวกในแนวตั้ง นอน และทแยง จึงเท่ากับ 15 ในการแก้แบบ 3 x 3 นั้นจะต้องใส่เลข 5 เข้าไปยังจุดกลาง จากนั้นนำเอาจำนวนเลขคู่มาใส่ยังที่มุมทั้งสี่ และใส่เลขคี่เพื่อให้ผลรวมเป็น 15 สำหรับจัตุรัสกลแบบ 3×3 นั้นมีรูปแบบเพียงอย่างเดียว
ขณะที่จัตุรัสกลแบบ 3×3 มีเพียงแบบเดียว แต่จัตุรัสกลแบบ 4×4 นั้นมีได้ถึง 830 แบบ และ ขนาด 5×5 นั้นมีได้มากกว่า 2,200 ล้านแบบ แต่ถึงแม้ไม่รู้ว่าจะมีกี่แบบ แต่ก็สามารถสร้างขึ้นมาแบบหนึ่งได้โดยง่าย อย่างเช่น กรณีที่ n เป็นเลขคี่ ให้เขียนเลข 1 ไว้ในตรงกลางของแถวบนสุด จากนั้นสสำหรับเลขตัวถัดไปเรื่อยๆให้เขียนไว้ในช่องบนขวา ถ้าไม่มีช่องบนขวาให้กลับไปทางด้านล่างหรือด้านซ้าย
 m01
จัตุรัสกลนั้นมีตัวอย่างที่เมีลักษณะเฉพาะอยู่มากมาย เช่น ขนาด 4×4 ของคือเรอร์ นอกจากมีผลรวมในแต่ะแนวเท่ากันแล้ว สี่ช่องตรงกลาง และสี่ช่องที่ได้จากการแบ่งสี่ส่วนก็มีผลบวกเท่ากันด้วย และทั้งหมดนี้มีผลรวมเท่ากับ 34