คำถาม (วิทยาศาสตร์)

วิทยาศาสตร์ และ คณิตศาสตร์ เป็นของคู่กัน มีบุคคลที่มีชื่อเสียงมากมายที่เป็นทั้งนักคณิตศาสตร์และนักวิทยาสตร์ในคนเดียวกัน

อาทิตย์นี้จึงมีคำถามที่ต้องใช้ความรู้ทางวิทยาศาสตร์เข้ามาช่วยตอบปัญหา

คำถาม

ในห้องปิดทึบที่ไม่สามารถมองเข้าไปจากภายนอก มีหลอดไฟอยู่ 3 ดวงซึ่งมีสวิทซ์เปิดปิดอยู่ภายนอกห้อง โดยหลอดแต่ละดวงจะมีสวิทซ์แยกกัน หากสามารถเปิดห้องเข้าไปได้เพียงแค่ครั้งเดียว ทำอย่างไรจึงจะทราบได้ว่าสวิทซ์ตัวไหนเป็นของหลอดไฟดวงไหน?

TR-033

คำตอบ

หากมีเพียงแค่ 2 หลอดเราสามารถทราบได้โดยเปิดหนึ่งดวงและปิดหนึ่งดวง โดยดูจากแสงสว่างจากหลอด แต่หากมี 3 หลอดเราจะทราบได้อย่างไร? สิ่งที่เราต้องทราบคือการเปิดไฟไม่ได้มีแค่แสงสว่างในหลอดไฟเท่านั้นแต่ยังมีความร้อนสะสมอีกด้วย แม้ว่าแสงจะหายไปเมื่อปิดสวิทซ์แต่ความร้อนยังคงอยู่

ดังนั้น การแก้ปัญหานี้คือ เปิดสวิทซ์แรกแล้วทิ้งไว้จนเกิดความร้อนสะสม จากนั้นปิดสวิทซ์แรกและเปิดสวิทซ์ที่สอง จากนั้นเข้าไปในห้อง หลอดไฟที่ไม่มีแสงแต่มีความร้อนคือหลอดของสวิทซ์แรก หลอดที่มีแสงเป็นของสวิทซ์ที่สอง และสวิทซ์สุดท้ายคือของหลอดไฟที่ไม่มีแสงและความร้อน

คำถามทางคณิตศาสตร์ (ผลต่าง)

Question

มีนกและต้นไม้จำนวนหนึ่ง หากนกหนึ่งตัวเกาะบนต้นไม้หนึ่งต้นจะเหลือนกอยู่สามตัว แต่ถ้านกสามตัวเกาะบนต้นไม้หนึ่งต้นจะทำให้เหลือต้นไม้สามต้น หาจำนวนนกและต้นไม้?

Answer

มีนก 9 ตัว และต้นไม้ 6 ต้น

เมื่อนก 1 ตัวเกาะบนต้นไม้หนึ่งต้นจะเหลือนก 3 ตัว ดังนั้น จำนวนนก เท่ากับ จำนวนต้นไม้ + 3

ถ้านก 3 ตัวเกาะบนต้นไม้หนึ่งต้นจะเหลือต้นไม้ 3 ต้น ดังนั้น จำนวนนก จะน้อยกว่า 3 เท่าของต้นไม้อยู่ 3 เท่ากับ 3(จำนวนต้นไม้ -3)

สามารถเขียนสมการได้ดังนี้ ให้ x = จำนวนนก และ y = จำนวนต้นไม้

x = y+3 และ x = 3(y-3)

ดังนั้น y+3 = 3(y-3) เมื่อแก้สมการออกมาจะได้ y = 6 (จำนวนต้นไม้คือ 6 ดังนั้น นกก็จะเป็น 6+3 = 9)

การตั้งสมการอาจเกิดขอผิดพลาดได้ง่ายเราสามารถแก้ได้โดยการใช้การคาดคะแน เนื่องจากผลต่างของนกและต้นไม้คือมีนกมากกว่าต้นไม้ 3 ตัว และ จำนวนนกต้องหารด้วย 3 ลงตัว (เพราะเกาะต้นไม้แบบ 3 ตัวต่อต้นได้ลงตัว) ดังนั้นเราสามารถคาดคะแนนจำนวนของนกได้ดังนี้

เริ่มที่ 3 , 6 , 9 , 12

หากนกมี 3 ตัว ต้นไม้จะได้เท่ากับ 3-3 =0 (ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะมีต้นไม้ 0 ต้น)

หากมีนก 6 ตัว ต้นไม้จะได้ 6 – 3 =3 ( ไม่ใช่เพราะเมื่อนก 3 ตัวเกาะบนต้นไม้จะเกาะ2 ต้นดังนั้นจะเหลือต้นไม้แค่ 1 ต้น)

หากมีนก 9 ตัว ต้นไม้จะได้ 9 – 3 = 6 (ใช่ เพราะเมื่อนก 3 ตัวเกาะบนต้นไม้จะเกาะ 3 ต้น ทำให้เหลือต้นไม้อีก 3 ต้น)

หากมีนก 12 ตัว ต้นไม้จะได้ 12 – 3 = 9 (ไม่ใช่ เพราะเมื่อนก 3 ตัวเกาะบนต้นไม้จะเกาะ 4 ต้น ทำให้เหลือต้นไม้ 5 ต้น)

ยิ่งเพิ่มขึ้นก็จะทำให้ต้นไม้เพิ่มมากขึ้น ดังนั้น จึงมีนกทั้งหมด 9 ตัว

images

ปัญหาคณิตศาสตร์เพื่อการประหยัดเวลา

มีเด็กอยู่กลุ่มหนึ่งต้องการจะข้ามสะพานไปยังงานเลี้ยงที่ปราสาทในยาวค่ำคืน และประตูปราสาทจะปิดภายใน 16 นาที เด็กๆเจอปัญหายุ่งยากให้แล้ว เพราะสะพานแขวนทั้งยาวและน่ากลัว ทำให้สามารถเดินไปได้ครั้งละ 2 คนเท่านั้น อีกทั้งเอาไฟฉายมาเพียงอันเดียว

ชื่อของเด็กกลุ่มนี้คือ เร็วปู๊ด เชื่องช้า ระวัง และ เร่งรีบ
เร็วปู๊ดสามารถข้ามสะพานได้ภายใน 1 นาที เชื่องช้าต้องใช้เวลา 8 นาที ระวังใช้ 5 นาที และ เร่งรีบใช้เวลาเพียง 2 นาทีเท่านั้น
เอาล่ะ แล้วต้องทำยังไง คนหนึ่งถือไฟฉายแล้วเดินข้ามครั้งละ 2 คน โดยจะนับเวลาคนที่เดินช้าสุด (เช่นหากเร่งรีบไปกับระวังจะใช้เวลาข้ามสะพาน 5 นาที ตามเวลาของระวัง) แล้วหนึ่งในนั้นต้องเอาไฟฉายกลับมาอีกรอบ เพราะคนที่เหลือก็ต้องใช้ไฟฉายข้ามมาเหมือนกัน
ทำอย่างไรถึงจะทำให้เด็กทั้ง 4 ข้ามสะพานได้ทั้งหมดภายใน 16 นาที?

TR-002

คำตอบ

จุดสำคัญคือการให้คนที่เดินช้านั้นเดินรอบให้น้อยที่สุดในขณะที่คนที่เดินเร็วให้เดินหลายรอบ
ดังนั้น
1. ให้เร็วปู๊ดและเร่งรีบไปด้วยกันก่อน (2 นาที)
2. ให้เร็วปู๊ดนำไฟฉายกลับมาที่จุดเริ่มต้น (1 นาที)
3. ให้เชื่องช้าและระวังเดินข้ามไปด้วยกัน (8 นาที)
4. ให้เร่งรีบถือไฟฉายกลับมา ( 2 นาที)
5. รอบสุดท้ายเร็วปู๊ดและเร่งรีบเดินข้ามไปด้วยกัน ทุกคนก็จะข้ามมาได้หมด (2 นาที)
ดังนั้นเวลารวมจะได้ 2 + 1 + 8 + 2 + 2 = 15 นาที ทำให้เด็กๆสามารถไปงานเลี้ยงได้ตามเวลาที่ต้องการ

untitled

ความลับของพีทาโกรัส 2

ความจริงแล้วพีทาโกรัสไม่ได้พูดความจริง รูปสี่เหลื่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่ 2 cm2 มีอยู่แน่นอน แต่ทำไมพีทาโกรัสจึงไม่พูดความจริงออกมา
พีทาโกรัสได้รับการสรรเสริญให้เป็นนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่มีลูกศิษย์มากมายและได้โอ้อวดว่าในโลกนี้ไม่มีโจทย์คณิตศาสตร์ที่ตนไม่รู้อีกต่อไป
วันหนึ่งมีหนูน้อยคนหนึ่งเดินเข้าไปหาพีทาโกรัส หนูน้อยถามว่า
“ อาจารณ์เป็นนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในโลกหรือครับ”
พีทาโกรัสยักไหล่และพยักหน้า “คนอื่นเค้าพูดกันเช่นนั้น”
“ผมมีคำถาม ในโลกนี้มีสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เป็น 2 ตารางหน่วยไหมครับ”
พีทาโกรัสตอบกลับไปสั้นๆและง่ายๆว่า “มีแน่นอน”
“ถ้าอย่างนั้นต้องให้ความยาวด้านละเท่าไรครับ”
“เอ่อ อันนั้นก็……”
พีทาโกรัสถึงกับชะงักเมื่อได้ยินคำถามนี้ “เอาความยาวด้านหนึ่งมายกกำลังสอง หรือเอาจำนวนสองตัวมาคูณกันสองตัวแล้วได้เป็นสอง จำนวนนั้นคือ……”
พิทาโกรัสใช้เวลาค้นคว้ากับการแก้โจทย์คำถามนี้ไม่ว่าจำนวนเต็มใดๆก็ไม่สามารถคูณกันเป็น 2 ได้ แต่ก็ทราบว่าจำนวนที่สามารถคูณกันแล้วได้ 2 ต้องเป็นจำนวนที่อยู่ระหว่าง 1 กับ 2 แน่ แต่เป็นจำนวนใหม่ที่พีทาโกรัสยังไม่รู้จัก จำนวนนี้เป็นจำนวนที่ถูกครอบด้วยสิ่งที่มีรูปร่างคล้ายหมวกที่เรียกว่า “รูท” ดังนั้นการจะได้พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสให้เท่ากับ 2 ความยาวของแต่ละด้านก็คือ “รูทสอง” นั้นเอง
sqrt2
จำนวนนี้เรียกว่า “จำนวนอตรรกยะ” ซึ่งถูกอธิบายใน 200 ปีถัดมาโดยนักคณิตศาสตร์ที่ชื่อว่า ยูคลิด

E

ความลับของพีทาโกรัส (1)

รูปสี่เหลื่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่ 2 cm2
มีรูปเล็กๆรูปหนึ่ง รูปนี้ประกอบด้วยด้านสี่ด้านเรียกว่าสี่เหลี่ยม ในทางคณิตศาสตร์เรียกว่ารูปสี่เหลี่ยม ถ้าความยาวเท่ากันทั้งสี่ด้านและมุมเท่ากันทั้งสี่มุมเราเรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
เมื่อเราต้องการจะหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส สูตรการหาพื้นที่คือ กว้าง x ยาว จากพื้นที่สี่เหลี่ยมทั้งหมด รูปสี่เหลี่ยมที่คำนวณพื้นที่ง่ายสุดคือรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเนื่องจากยาวเท่ากันทั้งสี่ด้าน แค่นำความยาว 2 ด้านมาคูณกันก็ได้คำตอบแล้ว ดังนั้นพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสยาว 1 cm จะมีพื้นที่ 1 cm2
ลองมาดูโจทย์นี้กัน มาลองวาดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่ 2 cm2 กัน ทำได้ใช่ไหม
  1. คำตอบของเด็กประถมคนแรก เนื่องจากความยาวหนึ่งด้านของรูปสี่เหลื่ยมจัตุรัสมีพื้นที่ 1 cm2 คือ 1 cm สามารถเพิ่มความยาวเป็น 2 cm ได้
  2. คำตอบของเด็กประถมคนที่สอง พื้นที่เท่ากับ กว้าง x ยาว ถ้าเลือกเพิ่มความกว้าง หรือ ความยาวเป็น 2 cm จะได้พื้นที่เป็น 1 x 2 = 2 cm 
  3. คำตอบของพีทาโกรัส ในโลกนี้ไม่มีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่ 2 cm2

11041778_1577576229196070_4373796970118495244_n

ดูซิว่าใครหาคำตอบได้ถูกต้อง
  1. พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แต่ละด้านยาว 2 cm จะได้พื้นที่เท่ากับ 2 x 2 = 4 cm2 ดังนั้นจึงผิด
  2. แม้ว่าเราจะได้พื้นที่เท่ากับ 2 cm2  แต่รูปที่ต้องการคือสี่เหลี่ยมจัตุรัส หากเลือกจะเพิ่มกว้างหรือยาวเพียงด้านเดียวจะกลายเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า ดังนั้นจึงผิด
  3. พีทาโกรัสเป็นนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียง เขาใช้เวลาในการคิดค้นวิธีแก้ปัญหานี้เป็นเวลานานก่อนจะสรุปออกมาว่า “ ในโลกนี้ไม่มีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เป็น 2 cm2
จริงหรือที่ในโลกนี้ไม่มีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เป็น 2 cm2  พีทาโกรัสเชื่ออย่างนั้นจริงหรือ?

คำถามทางคณิตศาสตร์ 8

การแก้โจทย์ปัญหาบางชนิดต้องใช้การจัดระบบทางความคิดโดยเฉพาะเมื่อมีเงื่อนไข ต้องเข้าใจว่าแต่ละเงื่อนไขต้องการจะสื่ออะไร และบางครั้งเงื่อนไขอาจไม่ต้องทำเป็นลำดับ แต่อาจมีการสลับเพื่อให้แก้ปัญหาได้ง่ายขึ้น
คำถาม
จงหาเลข 3 หลักที่มีคุณสมบัติต่อไปนี้
1. หารด้วย 5 ลงตัว
2. เมื่อสลับหลักสิบกับหลักร้อยเลขที่ได้จะมีค่ามากกว่าเดิม
3. เมื่อสลับหลักหน่วยและหลักสิบ เลขที่ได้มีค่าน้อยกว่าค่าเดิม และหารด้วย 2 ได้ลงตัว
4. เมื่อบวกผลบวกของทั้งสามหลักจะเป็นเลขที่หารด้วย 9 ได้ลงตัว

TR-033

คำตอบ
นี่เป็นปัญหาที่แปลกแหวกแนวไปจาก “ตำรา” ดูเหมือนยุ่งยาก แต่ถ้าคิดเป็นลำดับขั้นตามเงื่อนไขก็จะหาได้
ก่อนอื่นจากเงื่อนไขแรกบอกว่าหารด้วย 5 ได้ลงตัว แสดงว่าหลักหน่วยจะต้องเป็น 0 หรือ 5
และเงื่อนไขที่ 3 ที่บอกว่า เมื่อสลับหลักหน่วยกับหลักสิบ เลขที่ได้จะมีค่าน้อยกว่าค่าเดิมและหารด้วย 2 ได้ลงตัว แสดงว่าหลักสิบที่เป็นไปได้ก็คือ 0, 2, 4, 6, 8 สรุปจากเงื่อนไขที่ผ่านมาจะได้ว่า
หลักสิบ 2, 4, 6, 8 หลักหน่วย 0
หลักสิบ  6, 8 หลักหน่วย 5
ที่นี้จากเงื่อนไขที่ 4 เราก็จะหาหลักร้อยสำหรับแต่ละกรณีได้ดังนี้
720 / 540 / 360 / 180 / 765 / 585
และขั้นสุดท้ายใช้เงื่อนไขที่ 2 ก็จะได้เลขที่ต้องการหามีทั้งหมดสามจำนวนคือ 360, 180, 585

30161untitled