คำถามทางคณิตศาสตร์ 7

การแก้ปัญหาคณิตศาสตร์บางคำถามจำเป็นต้องใช้ความเข้าใจและจินตนาการในการแก้ไขปัญหา เพราะบางครั้งจำนวนตัวเลขก็มากจนไม่สามารถคำนวนค่าได้แม้ว่าเราจะสามารถเขียนประโยคสัญลักษณ์ในเชิงคณิตศาสตร์ได้แต่ก็อาจยากมากในการคำนวณค่าออกมา อาทิเช่น คำถามนี้
คำถาม
ต้นไม้ต้นหนึ่งมีอายุยืนยาวถึง 1000 ปีในปีแรกจะเติบโตจนมีความสูง 1 เมตร หลังจากนั้นในปีต่อๆไปจะเติบโตเป็นครึ่งของการเติบโตของปีที่ผ่านมา อยากทราบว่าเมื่อต้นไม้มีอายุครบ 1000 ปี ต้นไม้จะมีความสูงเท่าไร?
dMtlepuvzZKSM
คำตอบ
หากเราเขียนสมการจากคำถามที่ให้เราจะได้สมการดังนี้
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ……………………. + 1/2(n-1)  โดย n คือจำนวนปีที่ต้องการหา;
แน่นอนว่าการคำนวณเป็นไปได้ยากเพราะต้องรวมค่าเศษส่วนที่มีจำนวนส่วนไม่เท่ากันเป็นจำนวนถึง 999 ค่า แม้จะใช้เครื่องคิดเลขหรือแม้แต่คอมพิวเตอร์ก็ยังต้องใช้เวลาในการคิดคำนวณ แล้วเราจะแก้ปัญหานี้อย่างไรล่ะ
หากเราสังเกตให้ดีจะพบว่าการเติบโตจะเป็นครึ่งหนึ่งของปีที่ผ่านมาเสมอ ลองจินตนาการถึงการพับกระดาษเมื่อเราพับครึ่งหนึ่งไปเรื่อยๆเราจะสามารถพับครึ่งไปได้เรื่อยๆจนถึงค่าอนันต์  (ตามรูปด้านล่าง) ดังนั้นผลรวมของเศษส่วนไม่ว่าจะผ่านไปกี่ปีจำนวนก็จะยิ่งเข้าใกล้ 1 และไม่มีวันที่จะมีค่าเกิน 1 ไปได้

infinite-series-square

ดังนั้นคำตอบของคำถามข้อนี้ก็คือ 1.9999….. หรือก็คือ 2 เมตร
** รู้ไหมว่าถ้าเรามีกระดาษหนังสือพิมพ์ที่มีความหนาประมาณ 0.125 มิลลิเมตร นำพับครึ่ง 1 ทบ 2 ทบไปเรื่อยๆ จนครั้งที่ 100 (ในความเป็นจริงคงพับไม่ได้ แต่ในที่นี้สมมุติว่าพับได้) จะพบว่าความหนาของกระดาษหลังการพับทบไป 100 ครั้งแล้วจะหนาจนถึงขอบจักวาลเลยทีเดียว **
Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s