การแก้โจทย์คณิตศาสตร์ 4 (วันนี้วันอะไร?)

“อยากให้พรุ่งนี้เป็นเมื่อวานจัง วันนี้จะได้เป็นวันศุกร์ ถามว่าวันนี้คือวันอะไร?”
จากบทความที่แล้วในการแก้โจทย์คณิตศาสตร์เรามีขั้นตอนดังนี้
1. เข้าใจว่าปัญหาคืออะไร
2. เลือกกลยุทธ์ที่เหมาะสมในการแก้ไขปัญหา
3. แก้ปัญหาโดยใช้กลยุทธ์ที่เลือกมา
4. ตรวจสอบความถูกต้องของคำตอบ
ลองมาแก้ปัญหายอดฮิตของอาทิตย์นี้ ” อยากให้พรุ่งนี้เป็นเมื่อวานจัง วันนี้จะได้เป็นวันศุกร์ ถามว่าวันนี้คือวันอะไร?”
1. ปัญหาคืออะไร เราต้องการทราบว่าวันนี้คือวันอะไร แต่เราไม่รู้ว่าเมื่อวานคือวันอะไร ดังนั้นเราควรหาว่าเมื่อวานคือวันอะไร
2. เลือกกลยุทธ์ที่เหมาะสมในการแก้ไขปัญหา เนื่องจากโจทย์เป็นวันการตั้งสมการค่อนข้างยากและพลาดได้ง่าย การอนุมานแล้วทดสอบสมมุติฐานอาจสร้างความสับสนเพราะ เมื่อวาน วันนี้ และพรุ่งนี้ทำให้สับสนได้ง่าย ดังนั้นจึงจะใช้วิธีการสร้างรูปภาพแบบ Line Diagram
3.แก้ปัญหาโดยใช้กลยุทธ์
1159
จากรูปด้านบน เราวาดกล่องสีเขียว (ความเป็นจริง) สิ่งที่เราต้องการหาคือวันนี้ของความเป็นจริง จากนั้นวาดกล่องด้านล่าง (อันที่ไม่มีพื้นสีเป็น สิ่งที่อยากให้เป็น) ดังนั้นเมื่อวาน (ความเป็นจริง) จะเป็นวันเดียวกับ วันพรุ่งนี้ (สิ่งที่อยากให้เป็น) และ วันนี้ (สิ่งที่อยากให้เป็น) คือวันศุกร์ จากนั้นเราก็นับวัน (ตัวอักษรสีแดงในรูปภาพ) ก็จะได้คำตอบ วันนี้(ความเป็นจริง) ก็จะตรงกับวันอาทิตย์
4. ตรวจสอบคำตอบว่าใช่วันอาทิตย์จริงหรือไม่ โดยการใส่คำตอบเข้าไปในคำถามว่ามันเป็นไปได้หรือไม่ ” อยากให้วันพรุ่งนี้ (วันจันทร์) เป็นเมื่อวาน (วันเสาร์)จัง วันนี้ (วันอาทิตย์) จะได้เป็นวันศุกร์” ซึ่งก็มักจะเป็นความคิดของนักเรียนและพนักงานคิดเมื่อเย็นวันอาทิตย์มาถึง ก็อยากให้พรุ่งนี้เป็นวันเสาร์ วันนี้จะได้เป็นวันศุกร์ จะได้หยุดต่ออีก 2 วัน
(การตรวจคำตอบเป็นสิ่งสำคัญแต่เรามักละเลยในส่วนนี้ เช่นคำถามข้อนี้มีบางคนตอบว่าเป็นวันพุธ ซึ่งหากเราลองตรวจคำตอบแล้ว ถึงเราจะให้วันพฤหัสเป็นวันอังคารก็ไม่ทำให้วันนี้เป็นวันศุกร์ได้)
เมื่อใช้วิธีนี้ก็จะสามารถแก้โจทย์ได้อย่างง่ายดายและไม่สับสนอีกด้วย ยังมีกลยุทธ์ที่ใช้แก้โจทย์ปัญหาแบบต่างๆอีกมากมายใน KingMath Summer Course

30161

 

Advertisements

การแก้โจทย์คณิตศาสตร์ 3

น้องๆหลายคนมักจะมีปัญหาในการแก้โจทย์ปัญหา เพราะไม่สามารถเข้าใจว่าจะต้องทำอย่างไร เนื่องจากการคำนวณโดยที่มีสมการมาให้แล้วนั้น เป็นเพียงแค่การแก้ปัญหาที่เราทราบถึงปัญหาแล้ว แต่ในการแก้ไขโจทย์ที่ซับซ้อนเราจะมีขั้นตอนดังนี้
1. เข้าใจว่าปัญหาคืออะไร (Recognize the mathematic problem)
2. เลือกกลยุทธ์ที่เหมาะสมในการแก้ไขปัญหา (Select Appropriate Mathematic Starategy)
3. แก้ไขปัญหาโดยใช้กลยุทธ์ที่เลือกมา (Execute the Mathmatic Problem according to the seclected Stategy)
4. ตรวจสอบความถูกต้องของคำตอบ (Recheck the answer)
คำถาม (ตัวอย่างโจทย์คำถามชั้นประถมศึกษาปีที่ 2)
จากจำนวนลูกอมที่ซอกกีมี แบ่งให้น้องไป 32 เม็ด และได้รับจากพี่ชายมาเพิ่มอีก 15 เม็ด จึงมีลูกอม 185 เม็ด จงหาว่าตอนแรกซอกกีมีลูกอมกี่เม็ด?
1. เข้าใจว่าปัญหาคืออะไร ปัญหาที่เราต้องการจะหาคือตอนแรกซอกกีมีลูกอมเท่าไร
2. เลือกกลยุทธ์ที่เหมาะสม เราไม่ทราบว่าตอนแรกมีเท่าไร แต่ทราบว่าตอนสุดท้ายเหลือเท่าไร และ ทราบว่ามีการแบ่งและได้เพิ่มมาเท่าไร ซึ่งก็คือ จำนวนลูกอมที่มี ลบด้วยจำนวนที่แบ่งให้น้องไป บวกด้วยจำนวนที่ได้เพิ่มจากพี่ จะรวมกันเท่ากับ 185 เม็ด สามารถเขียนสมการได้ว่า จำนวนลูกอมตอนแรก – 32 + 15 = 185 (ดังนั้นเราจะใช้กลยุทธ์แก้ปัญหาโดยการคิดย้อนกลับ) เป็น จำนวนลูกอมตอนแรก = 185 – 15 +32
3. แก้ปัญหาโดยใช้กลยุทธ์ จำนวนลูกอมตอนแรก = 185 -15 +32 = 202 เม็ด
4. ตรวจคำตอบ โดยนำเอาลูกอมตอนแรก ลบด้วยจำนวนที่แบ่งให้น้องไป บวกด้วยจำนวนที่ได้เพิ่มจากพี่ คือ 202 -15 +32 = ? เมื่อหาคำตอบออกมาจะได้ 185 ซึ่งเท่ากับจำนวนลูกอมที่เหลือ แสดงว่าเราแก้โจทย์ปัญหานี้ได้ถูกต้อง
ตัวอย่างกลยุทธ์การแก้ปัญหาโดยการคิดย้อยกลับของ King Math (รูปด้านล่าง, กดที่รูปเพื่อให้รูปใหญ่ขึ้น)

Untitled

untitled

คำถามทางคณิตศาสตร์ 7

การแก้ปัญหาคณิตศาสตร์บางคำถามจำเป็นต้องใช้ความเข้าใจและจินตนาการในการแก้ไขปัญหา เพราะบางครั้งจำนวนตัวเลขก็มากจนไม่สามารถคำนวนค่าได้แม้ว่าเราจะสามารถเขียนประโยคสัญลักษณ์ในเชิงคณิตศาสตร์ได้แต่ก็อาจยากมากในการคำนวณค่าออกมา อาทิเช่น คำถามนี้
คำถาม
ต้นไม้ต้นหนึ่งมีอายุยืนยาวถึง 1000 ปีในปีแรกจะเติบโตจนมีความสูง 1 เมตร หลังจากนั้นในปีต่อๆไปจะเติบโตเป็นครึ่งของการเติบโตของปีที่ผ่านมา อยากทราบว่าเมื่อต้นไม้มีอายุครบ 1000 ปี ต้นไม้จะมีความสูงเท่าไร?
dMtlepuvzZKSM
คำตอบ
หากเราเขียนสมการจากคำถามที่ให้เราจะได้สมการดังนี้
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ……………………. + 1/2(n-1)  โดย n คือจำนวนปีที่ต้องการหา;
แน่นอนว่าการคำนวณเป็นไปได้ยากเพราะต้องรวมค่าเศษส่วนที่มีจำนวนส่วนไม่เท่ากันเป็นจำนวนถึง 999 ค่า แม้จะใช้เครื่องคิดเลขหรือแม้แต่คอมพิวเตอร์ก็ยังต้องใช้เวลาในการคิดคำนวณ แล้วเราจะแก้ปัญหานี้อย่างไรล่ะ
หากเราสังเกตให้ดีจะพบว่าการเติบโตจะเป็นครึ่งหนึ่งของปีที่ผ่านมาเสมอ ลองจินตนาการถึงการพับกระดาษเมื่อเราพับครึ่งหนึ่งไปเรื่อยๆเราจะสามารถพับครึ่งไปได้เรื่อยๆจนถึงค่าอนันต์  (ตามรูปด้านล่าง) ดังนั้นผลรวมของเศษส่วนไม่ว่าจะผ่านไปกี่ปีจำนวนก็จะยิ่งเข้าใกล้ 1 และไม่มีวันที่จะมีค่าเกิน 1 ไปได้

infinite-series-square

ดังนั้นคำตอบของคำถามข้อนี้ก็คือ 1.9999….. หรือก็คือ 2 เมตร
** รู้ไหมว่าถ้าเรามีกระดาษหนังสือพิมพ์ที่มีความหนาประมาณ 0.125 มิลลิเมตร นำพับครึ่ง 1 ทบ 2 ทบไปเรื่อยๆ จนครั้งที่ 100 (ในความเป็นจริงคงพับไม่ได้ แต่ในที่นี้สมมุติว่าพับได้) จะพบว่าความหนาของกระดาษหลังการพับทบไป 100 ครั้งแล้วจะหนาจนถึงขอบจักวาลเลยทีเดียว **

ความลับที่ซ่อนอยู่ในการเดินทางของกัลลิเวอร์

ชาวอังกฤษโบราณไม่ทราบวิธีการนับโดยใช้นิ้วมือทั้ง 10 นิ้ว จึงนับโดยใช้จำนวนหน่วยเป็น 12 แทน เป็นอย่างนั้นจริงหรือ มาพิสูจน์กัน
ลองอ่านนิทานของ โจนาทาน สวิฟท์ นักเขียนชาวอังกฤษดู เรื่องการผจญภัยของกัลลิเวอร์ ซึ่งจะบอกเล่าเรื่องราวของเมืองที่มีมนุษย์เล็ก เมืองที่มีมนุษย์ตัวโต เมืองที่เป็นเกาะตกมาจากฟากฟ้า จากเรื่องนี้สามารถหาหลักฐานยืนยันที่แสดงให้เห็นว่า ชาวอังกฤษใช้ 12 เป็นจำนวนนับโดยเห็นได้จากเรื่อง “ประเทศที่มีมนุษย์ตัวเล็ก”

images

การผจญภัยของกัลลิเวอร์เริ่มขึ้นที่เมืองคนแคระ การทำอาหารในหนึ่งมื้อเพื่อกัลลิเวอร์ของเมืองคนแคระต้องทำมากเท่ากับคนแคระกินได้ถึง 1728 คน ว่าแต่ทำไมต้องทำมากถึง 1728 คนแคระกินล่ะ?
เนื่องจากสวิฟท์เคยอาศัยอยู่ในประเทศอังกฤษ เขาจึงใช้จำนวนหน่วยการนับเป็น 12 สวิฟท์คิดว่าขนาดตัวของกัลลิเวอร์เป็น 12 เท่าของคนแคระ และถ้าขนาดเป็น 12 เท่า พื้นที่ก็จะคิดเป็น กว้าง x ยาวนั้นก็คือ 12 x 12 = 144 เท่า ถ้าต้องการหาปริมาตรคือ กว้าง x ยาว x สูง จะได้เป็น 12 x 12 x 12 = 1728 ดังนั้น สวิฟท์คิดว่าปริมาตรของกัลลิเวอร์ที่เป็น 12 เท่า จะได้เป็น 1728 เท่าของคนแคระ กัลลิเวอร์ต้องกินอาหารมากเป็น 1728 เท่าของคนแคระ เพราะเหตุใดชวนให้เชื่อว่าสวิฟท์คิดแบบนี้
12 คือหน่วยมาตรฐานที่ใช้กันจนถึงเดี๋ยวนี้ ทำไมล่ะ ดินสอ 1 โหลทำไมถึงไม่ได้มี 10 แท่งแต่มี 12 แท่ง เนื่องจาก 12 เป็นหน่วยที่ใช้นับในสมัยนั้น แม้แต่ขีดบนหน้าปัดนาฬิกาก็แบ่งออกเป็น 12 ช่องเลย 1 ปีก็แบ่งเป็น 12 เดือน สิ่งเหล่านี้ล้วนเกี่ยวข้องกับการใช้หน่วยที่เป็น 12 ทั้งนั้น การนับโดยรวมกลุ่มครั้งละ 12 เป็นวิธีคำนวณที่เรียกว่า “ระบบเลขฐาน 12”

การค้นพบเลขฐานสิบ

คนโบราณนับจำนวนโดยใช้ร่างกายของตนเอง เริ่มแรกแสดงจำนวนโดยใช้อวัยวะส่วนนั้นส่วนนี้ของร่างกาย เช่น หัว ไหล่ เท้า และอื่นๆ แต่เมื่อจำนวนเพิ่มขึ้นมากเรื่อยๆสัญลักษณ์ที่จำเป็นก็ต้องเพิ่มมากขึ้นตามไปด้วย ทำให้การนับยุ่งยากมากขึ้น
images6HX8H2S3
วันหนึ่งคนฉลาดคนหนึ่งได้ค้นพบวิธีการนับโดยใช้เทียบจำนวนกับนิ้วมือและนิ้วเท้า การนับด้วยวิธีนี้ ถ้าของจำนวนน้อยก็สามารถทำได้ง่ายแต่หากมีจำนวนมากก็จะเป็นเรื่องยาก ดังนั้นหากจะนับของที่มีมากกว่าสิบเราต้องรวมกลุ่มโดยกำหนดสัญลักษณ์ที่มีค่ามากขึ้นมาแทนค่าในแต่ละกลุ่ม เช่น กลุ่มที่มีกลุ่มละ 10 คือการนับมัดว่ามีกี่มัดโดยนับจนครบ 100 วิธีการนี้จะทำให้ง่ายขึ้นมาก ทำได้กับจำนวนที่มากขึ้นเรื่อยๆ เราเรียกวิธีการนับแบบนี้ว่า เลขฐานสิบ
ปัจจุบันวิธีการคำนวณที่เราใช้ ตัวเลข 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ก็คือระบบเลขฐานสิบ สาเหตุที่ใช้เลขฐาน 10 อาจเป็นเพราะว่าไปสอดคล้องกับจำนวนนิ้วของเราที่มี 10 นิ้วก็ได้
นอกจากเลขฐาน 10 แล้วเราเองก็มีใช้เลขฐานอื่นๆอีกด้วย ตัวอย่างเช่น เลขฐานสองในระบบคอมพิวเตอร์ที่ใช้เพียงแค่เลข 0 และ 1 เท่านั้น

การแก้โจทย์คณิตศาสตร์ตอนที่ 2

การแก้โจทย์ปัญหาคณิตศาสตร์เป็นกระบวนการ หรือวิธีการในการหาคำตอบของโจทย์ปัญหาคณิตศาสตร์ซึ่งต้องอาศัยความรู้ความเข้าใจในมโนมติ หลักเกณฑ์ กระบวนการทางคณิตศาสตร์ ประสบการณ์ และทักษะการแก้โจทย์ปัญหาคณิตศาสตร์ของนักเรียนเข้ามาช่วย แต่นักเรียนส่วนใหญ่ก็ยังไม่สามารถแก้โจทย์ปัญหาคณิตศาสตร์ได้ซึ่งสาเหตุที่นักเรียนไม่สามารถแก้โจทย์ปัญหาคณิตศาสตร์ได้ซึ่งได้จากสาเหตุต่อไปนี้
   1.  ความคิดรวบยอดเกี่ยวกับ การบวก ลบ คูณ หารไม่ดี
   2.  ความสามารถในการอ่านไม่ดี
   3.  ความสามารถในการวิเคราะห์ปัญหาไม่ดี
   4.  ทักษะการคิดคำนวณไม่ดี
30161v1
นอกจากนี้นักเรียนยังไม่มีโอกาสได้พัฒนาทักษะทางการแก้โจทย์ปัญหาทางคณิตศาสตร์เนื่องจากหลักสูตรที่สอนไม่ได้เน้นไปทางการแก้โจทย์ปัญหา
ตัวอย่างโจทย์ปัญหาของ Kingmath สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 1
  1. จำนวนหนึ่งต้องบวกกับ 5 แล้วนำมาลบกับ 8 แต่ทำผิดลบออกด้วย 5 แล้วบอกด้วย 8 ได้ผลลัพธ์เป็น 17 ถ้าคำนวนถูกวิธีจะได้ผลลัพธ์เท่าไร? 
     2.  17 – 8 + 5 – 8 + 5 = ?
หากนำโจทย์ทั้ง 2 ข้อไปให้เด็กนักเรียนลองแก้โจทย์ ข้อ 1 อาจมีนักเรียนไม่ถึงครึ่งที่สามารถแก้โจทย์คำถามข้อนี้ได้ แต่สำหรับข้อ 2 คาดว่านักเรียนทุกคนจะสามารถทำได้อย่างง่ายดาย
( คำตอบของข้อ 2 คือ 11 ; ส่วนของข้อ 1 สามารถเขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์แบบเดียวกับข้อ 2 จึงได้คำตอบเดียวกัน)
จึงเห็นได้ว่าแม้วิธีบวกลบและตัวเลขจะเหมือนกัน วิธีทำเดียวกัน คำตอบก็เป็นคำตอบเดียวกันแต่ เมื่อเขียนเป็นโจทย์คำถามนักเรียนจะรู้สึกว่ายากกว่าเพราะขาดทักษะในการวิเคราะห์แก้ไขปัญหา และไม่สามารถแปลงโจทย์คำถามออกมาเป็นประโยคสัญลักษณ์ได้