คำถามทางคณิตศาสตร์ 1

Question
หญิงคนหนึ่งถูกจระเข้จับลูกไป จระเข้บอกว่าจะคืนลูกให้ ถ้าเธอทายถูกว่ามันจะกินลูกของเธอหรือไม่ เธอกลุ่มใจมากเพราะไม่รู้จะตอบอย่างไรจึงได้ลูกคืน ลงคิดว่าเธอควรตอบอย่างไรระหว่าง 1 จระเข้าจะกินเด็ก หรือ 2 จระเข้จะไม่กินเด็ก
 TR-033
Answer
ถ้าผู้หญิงคนนี้ตอบว่าจระเข้จะกินลูกเธอล่ะ ผลจะเป็นอย่างไร ถ้าจระเข้คิดจะกินเด็กจริง นั้นก็หมายความว่าเธอทายใจมันถูกและมันต้องคืนลูกให้เธอ แต่ถ้ามันไม่ได้คิดจะกินเด็ก ก็หมายความว่าเธอทายผิด ซึ่งถ่จระเข้ไม่คิดจะกินเด็กจริงๆ มันก็ต้องคืนลูกให้เธออยู่แล้ว ปัญหาของจระเข้เป็นโจทย์คณิตศาสตร์ที่เรียกว่า ปฎิทรรศน์ (Paradox) สรุปได้ว่าหญิงคนนี้ต้องตอบจระเข้ว่ามันจะกินลูกของเธอ

การศึกษาคณิตศาสตร์ในประเทศเกาหลี

ในประเทศเกาหลีมีการศึกษาวิชาคณิตศาสตร์มาตั่งแต่อดีต โดยเฉพาะสมัยของพระเจ้าเซจองที่มีความรู้ทางด้านคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ก้าวหน้าไปมาก โดยเฉพาะคณิตศาสตร์ ในสมันนั้นมีนักคณิตศาสตร์ชื่อ จางยองซิล มีบมบาทมากในสมัยนั้น เขาเป็นผู้ประดิษฐ์มาตรวัดน้ำฝน และ สิ่งประดิษฐ์อื่นๆอีกมากมาย เขามักถือหนังสือคณิตศาสตร์เล่มหนึ่งติดตัวเสมอ ซึ่งคือหนังสือคณิตศาสตร์ที่ชื่อว่า ซันฮักคเยมง แปลว่า ความรู้ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งมาจากหนังสือคณิตศาสตร์ของจีน หนังสือเล่มนี้เน้นวิธีการคำนวณเพื่อนำไปใช้ให้เกิดประโยชน์ จึงนับเป็นตำราเรียนเล่มสำคัญในสมัยนั้น

การมองในมุมมองที่แตกต่าง

คนส่วนใหญ่คิดว่าคณิตศาสตร์เป็นเรื่องน่าเบื่อ เพราะต้องคำนวณยุ่งยากและซับซ้อนจนสร้างเป็นสูตรขึ้นมา แต่ถ้ามองดูคำถามในมุมมองที่แตกต่างออกไปและฉีกกรอบความคิดแบบเดิมทิ้งไปซะ คณิตศาสตร์จะเป็นเรื่องสนุกอย่างไม่น่าเชื่อ

ถ้าคุณครูเขียนสมการบนกระดานว่า 5-4 = 3 รู้ไหมว่าวิธีคิดแบบใดที่จะทำให้ได้คำตอบของสมการนี้ แน่นอนว่าถ้า 5 ,4 ,3 เป็นตัวเลข สมการนี้ย่อมไม่สามารถเป็นจริงได้ หรือถ้าเราแทนค่าด้วยหน่วยอื่นๆ ไม่ว่าจะเป็น วัน หรือ ชั่วโมง เองก็ยังไม่สามารถทำได้

ไม่มีชื่อ

งั้นถ้าเราเปลื่ยนเป็นรูปภาพแทนจะได้ไหม ถ้าเปลื่ยนจาก 5 เป็นรูป 5 เหลื่ยม จากนั้นลบออกด้วยรูป 4 เหลื่ยม (ฐานของรูป 5 เหลื่ยม) ก็จะเหลือรูป 3 เหลื่ยมที่ด้านบน ดังนั้นคำตอบที่ถูกของคำถามนี้ก็คือนำรูปห้าเหลี่ยมลบด้วยรูปสีเหลี่ยมก็จะเหลือรูปสามเหลี่ยมนั่นเอง

คาร์ด ฟรีดริช เกาส์

หลักสูตรของ KingMath ได้แบ่งนักเรียนตามความสามารถทางคณิตศาสตร์ โดยใช้หนังสือที่แตกต่างกันในการเรียนและใช้ชื่อนักคณิตศาสตร์ในการตั้งชื่อหนังสือคือ นิวตัน เกาส์ และ ยูคลิด

นิวตันเป็นที่รู้จักในฐานะนักวิทยาศาสตร์ผู้ค้นพบแรงโน้นถ่วง จากการนั่งอยู่ใต้ต้นแอปเปิล แต่ เกาส์ และ ยูคลิด เราอาจไม่ค่อยรู้จัก

คาร์ด ฟรีดริช เกาส์ เป็นนักคณิตศาสตร์ที่มีพรสวรรค์ชาวเยอรมัน เมื่ออายุ 10 ขวบเขาสามารถหาผลบอกของเลข 1-100 ได้ในเวลาเพียงไม่กี่วินาที และ ในขณะอายุ 19 สามารถค้นพบวิธีวาดรูปเจ็ดเหลื่ยมโดยใช้แค่วงเวียนและไม่บรรทัดได้อีกด้วย

*** สำหรับการบวกเลข 1-100 นะ เกาส์ได้ทำการจับคู่ระหว่างเลขตัวแรกและตัวสุดท้ายไล่มา คือ (1+100) + (2+99)+….+(50+51) ซึ่งจะเห็นได้ว่าเลขในวงเล็บจะได้ผลบวกเท่ากับ 101 ทุกวงเล็บจำนวน 50 คู่ ดังนั้นผลลัพธ์จึงเป็น 101 x 50 = 5,050***

“ทักษะการเชื่อมโยง” (คณิตศาสตร์)

TR-027“ทักษะการเชื่อมโยง”
แนวคิดนี้ได้นำมาใช้ในการทำงานของเครื่องอัตโนมัติที่ใช้อ่านรหัสไปรษณีย์ที่เขียนด้วยลายมือ การจำแนกว่า “รูปร่างที่ถูกปิดล้อมด้วยเส้นนั้น ไม่ว่าจะเป็นรูปสามเหลื่ยมก็ดี สี่เหลื่ยมก็ดี หลายเหลี่ยมเบี้ยวๆก็ดี ล้วนเป็นรูปประเภทเดียวกับวงกลม” หรือ”เลข 6 ก็ดีเลข 9 ก็ดี ล้วนแต่มีเส้นยื่นออกจากวงกลม จัดเป็นรูปร่างชนิดเดียวกัน” การแบ่งประเภทเช่นนี้ทำให้ได้โดยสมมุติว่า “รูปร่างที่เกิดจากหนังยาง” ซึ่งเป็นวิธีคิดแบบคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า “ทอพอโลยี” (Topology)นั่นเอง
การใช้ “ทักษะการเชื่อมต่อ” นั่นไม่มีขีดจำกัด แต่ก็ใช่ว่าจะจับโน้นผสมนี้มั่วๆแล้วได้เป็นสินค้าใหม่ออกมา สิ่งสำคัญคือการนำเอาจินตนการอันบรรเจิดที่สามารถมองทะลุถึงแก่นของ “ความน่าใช้งาน” จึงจะทำให้เกิดผลิตภัณฑ์ใหม่ที่น่าสนใจและดึงดูดใจขึ้นมาได้จริง

ทักษะการตัดทิ้ง (คณิตศาสตร์)

“ทักษะการตัดทิ้ง”
เวลาพิจรณาปัญหาที่ยุ่งยากซับซ้อนนั้น วีธีที่นิยมทำกันมากคือ การตัดส่วนปลีกย่อยของปัญหานั้นออกๆไป และเขียนรูปอธิบายอย่างง่ายขึ้นมาแทน เพื่อให้มองเห็นแก่นแท้ของปัญหาได้โดยตรง การตัดข้อมูลที่ไม่จำเป็นออก เหลือแต่ข้อมูลที่จำเป็นไว้ เรียกว่าการย่อความ
ด
หากชอบการเดินทางแล้วบางท่านอาจมีคำถามว่าเราจะเดินทางไปกลับระหว่างเมืองอย่างไรโดยไม่ใช้เส้นทางเดิม ซึ่งจะตรงกับโจทย์คณิตศาสตร์เกี่ยวกับการวาดรูปโดยไม่ยกปากกา โดยปัญหาที่โด่งดังที่เป็นที่รู้จักก็คือปัญหาของสะพานทั้ง 7 แห่งเมืองเคอนิกสแบร์ก คำถามมีอยู่ว่า “หากอยากเดินเนในเมือง โดยกำหนดเส้นทางให้เดินข้ามสะพานที่มีอยู่ในเมืองทั้ง 7 แห่งให้ครับแห่งล่ะครั้งเท่านั้น จะทำให้ได้หรือไม่?” นักคณิตศาสตร์ชื่อ เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ได้ตอบคำถามข้อนี้โดยกล่าวว่า “ถ้าผืนดินหรือเกาะที่มีสะพานทอดออกไปเป็นจำนวนคี่มีอยู่ไม่เกิน 2 แห่งแล้ว ก็จะสามารถเดินเล่นตามต้องการได้ แต่สำหรับเมืองนี้มีถึง 4 แห่งจึงทำไม่ได้” ซึ่งออยเลอร์เข้าใจว่าโจทย์ของเมืองก็เหมือนกับโจทย์การวาดรูปโดยไม่ยกปากกา
ดังนั้นเทคนิคการย่อความหรือทำรูปอย่างง่ายเพื่อให้เข้าถึงแก่นแท้ของปัญหานั้น ไม่ใช่อะไรอื่นไกลเลย คือ “ทักษะการตัดทิ้ง” นั้นเอง

ทักษะการจัดเรียงรูป (คณิตศาสตร์)

“ทักษะการจัดเรืยงรูป”

แนวคิดที่ว่า “เมื่อทำการเลื่อนรูปใดๆ ส่วนที่หายไปกับส่วนที่ยื่นออกมาจะมีพื้นที่เท่ากัน” ใช้กันมาตั้งแต่โบราณและไม่ได้จำกัดแค่ในวิชาคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ละวิชาอาจใช้แนวคิดที่แตกต่างกันออกไปซึ่งดูเผินๆก็เป็นวิธีคิดที่ไม่เหมือนกันด้วย จึงทำให้ถูกมองว่าเป็นคนละวิธีกัน เนื่องจากบทบาทของวิชาคณิตศาสตร์คือ “มองทะลุถึงแก่นแท้ เพื่อทำให้เรื่องราวต่างๆง่ายขึ้น” ดังนั้น คณิตศาสตร์จึงสามารถรวบรวมสิ่งต่างๆที่แตกต่างกัน แต่โดยเนื้อแท้แล้วเหมือนกันเข้าไว้ด้วยกันได้ เช่น การแก้โจทย์ปัญหาพื้นที่ โดยอาศัยหลักกการที่ว่า “ถ้าหายไปเท่าไร ก็เพิ่มขึ้นเท่านั้น”

TR-051
ตัวอย่างของหลักการที่ว่า “ถ้าหายไปเท่าไร ก็เพิ่มขึ้นเท่านั้น” ที่เป็นที่รู้จักดีคือเรื่องราวของ อาร์คิมีดิส (นักคณิตศาสตร์ ที่มีชีวิตในช่วงสมัยกรีกโบราณ) ได้นำวิธีนี้มาแก้ไขปัญหาของพระราชาว่ามงกฎที่ช่างทองทำนั้นทำจากทองคำแท้ทั้งหมดหรือไม่ และวิธีที่ อาร์คิมีดิสใช้ก็คือ การเติมน้ำให้เต็มภาชนะแล้วหย่อนมงกฎลงไป ก็จะสามารถหาปริมาตรของมงกุฎได้จากปริมาตรน้ำที่ไหนออกมา
ซึ่งในแวดวงคณิตศาสตร์เรียกหลักการ “ถ้าหายไปเท่าไร ก็เพิ่มขึ้นเท่านั้น” ว่า “หลักของคาวาลีเอรี” (Cavalieri’s Principle) ตามชื่อนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี่